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安徽省合肥市肥西縣2015屆九年級上學期期末數學試卷

一、選擇題
1．拋物線y=x2?2的頂點坐標是（）
 A． （0，2） B． （0，?2） C． （?2，0） D． （2，0）

2．在反比例函數 圖象的每一支曲線上，y都隨x的增大而減小，則k的取值 范圍是（）
 A． k＜0 B． k＞0 C． k＜1 D． k＞1

3．如果兩個相似三角形的面積比是1：4，那么它們的周長比是（）
 A． 1：  B．  ：4 C． 1：2 D． 1：4

4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB，垂足為D，若AC= ，BC=2．則sin∠ACD的值為（）
 
 A．   B．   C．   D． 

5．如圖，已知AB∥CD∥EF，那么下列結論正確的是（）
 
 A．   B．   C．   D． 

6．如圖，若∠1=∠2=∠3，則圖中的相似三角形有（）
 
 A． 1對 B． 2對 C． 3對 D． 4對

7．圖中的兩個三角形是位似圖形，它們的位似中心是（）
 
 A． 點P B． 點O C． 點M D． 點N

8．如圖，為了測量河岸A，B兩點的距離，在與AB垂直的方向上取點C，測得AC=a，∠ABC=α，那么AB等于（）
 
 A． a•sinα B． a•cosα C． a•tanα D． 

9．如圖，△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分線，交BC于點D，那么 =（）
 
 A． sin∠BAC B． cos∠BAC C． tan∠BAC D． cot∠BAC

10．已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，有以下結論：
①a+b+c＜0；②a?b+c＞1；③abc＞0；④4a?2b+c＜0；⑤c?a＞1，
其中所有正確結論的序號是（）
 
 A． ①② B． ①③④ C． ①②③⑤ D． ①②③④⑤

二、填空題
11．計算：sin60°•cos30°?tan45°=．

12．如圖，若∠B=∠DAC，則△ABC∽，對應邊的比例式是．
 

13．如圖，若點A在反比例函數y= （k≠0）的圖象上，AM ⊥x軸于點M，△AMO的面積為3，則k=．
 

14．已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），其中a，b，c滿足a+b+c=0和9a?3b+c=0，則該二次函數圖象的對稱軸是直線．

15．如圖，DE∥BC，EF∥AB，且S△ADE=4，S△EFC=9，則△ABC的面積為．
 

三、解答題
16．如圖，△ ABC是一倉庫的屋頂的橫截面，若∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求線段AB的長．
 

17．如圖，王明站在地面B處用測角儀器測得樓頂點E的仰角為45°，樓頂上旗桿頂點F的仰角為55°，已知測角儀器高AB=1.5米，樓高CE=14.5米，求旗桿EF的高度（精確到1米）．（供參考數據：sin55°≈0.8，cos55°≈0.57，tan55°≈1.4．）
 

18．如圖，已知A（?4，2）、B（n，?4）是一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數 的圖象的兩個交點．
（1）求此反比例函數和一次函數的解析式；
（2）根據圖象寫出使一次函數的值小于反比例函數的值的x的取值范圍．
 

19．如圖，在平面直角坐標系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．點P從點O開始沿OA邊向點A以1厘米/秒的速度移動；點Q從點B開始沿BO邊向點O以1厘米/秒的速度移動．如果P、Q同時出發，用t（秒）表示移動的時間（0≤t≤6），那么，當t為何值時，△POQ與△AOB相似？
 

20．如圖，在△ABC中，∠CAB=120°，AD是∠CAB的平分線，AC=6，AB=10．
（1）求 ；（2）求AD的長．
 

21．某公司經銷一種綠茶，每千克成本為50元．市場調查發現，在一段時間內，銷售量w（千克）隨銷售單價x（元/千克）的變化而變化，具體關系式為：w=?2x+240．設這種綠茶在這段時間內的銷售利潤為y（元），解答下列問題：
（1）求y與x的關系式；
（2）當x取何值時，y的值最大？
（3）如果物價部門規定這種綠茶的銷售單價不得高于90元/千克，公司想要在這段時間內獲得2250元的銷售利潤，銷售單價應定為多少元？

安徽省合肥市肥西縣2015屆九年 級上學期期末數學試卷

一、選擇題
1．拋物線y=x2?2的頂點坐標是（）
 A． （0，2） B． （0，?2） C． （?2，0） D． （2，0）

考點： 二次函數的性質．
分析： 已知拋物線的解析式滿足頂點坐標式y=a（x?h ）2+k的形式，直接寫出頂點坐標即可．
 解答： 解：∵拋物線y=x2?2，
∴拋物線y=x2?2的頂點坐標是（0，?2），
故選B．
點評： 本題主要考查了二次函數的性質，二次函數y=a（x?h）2+k的頂點坐標為（h，k），對稱軸為x=h，此題基礎題，比較簡單．

2．在反比例函數 圖象的每一支曲線上，y都隨x的增大而減小，則k的取值范圍是（）
 A． k＜0 B． k＞0 C． k＜1 D． k＞1

考點： 反比例函數的性質．
專題： 計算題．
分析： 根據反比例函數的性質，當反比例函數的系數大于0時，在每一支曲線上，y都隨x的增大而減小，可得k?1＞0，解可得k的取值范圍．
解答： 解：根據題意，在反比例函數 圖象的每一支曲線上，y都隨x的增大而減小，
即可得k?1＞0，
解得k＞1．
故選D．
點評： 本題考查了反比例函數的性質：①當k＞0時，圖象分別位于第一、三象限；當k＜0時，圖象分別位于第二、四象限．②當k＞0時，在同一個象限內，y隨x的增大而減小；當k＜0時，在同一個象限，y隨x的增大而增大．

3．如果兩個相似三角形的面積比是1：4，那么它們的周長比是（）
 A． 1：  B．  ：4 C． 1：2 D． 1：4

考點： 相似三角形的 性質．
分析： 由兩個相似三角形的面積比是1：4，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得它們的相似比，又由相似三角形周長的比等于相似比，即可求得它們的周長比．
解答： 解：∵兩個相似三角形的面積比是1：4，
∴這兩個相似三角形的相似比是1：2，
∴它們的周長比是1：2．
故選：C．
點評： 此題考查了相似三角形的性質．此題比較簡單，解題的關鍵是掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方與相似三角形周長的比等于相似比性質的應用．

4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB，垂足為D，若AC= ，BC=2．則sin∠ACD的值為（）
 
 A．   B．   C．   D． 

考點： 解直角三角形．
分析： 先根據勾股定理列式求出AB的長，再根據同角的余角相等求出∠ACD=∠B，然后根據銳角的正弦等于對邊比斜邊列式計算即可得解．
解答： 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90，AC= ，BC=2，
∴AB= = =3，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴sin∠ACD=sin∠B= = ．
故選C．
點評： 本題考查了解直角三角形，銳角三角函數的定義，勾股定理，根據同角的余角相等求出∠ACD=∠B是解題的關鍵．

5．如圖，已知AB∥CD∥EF，那么下列結論正確的是（）
 
 A．   B．   C．   D． 

考點： 平行線分線段成比例．
分析： 已知AB∥CD∥EF，根據平行線分線段成比例定理，對各項進行分析即可．
解答： 解：∵AB∥CD∥EF，
∴ = ．
故選D．
點評： 本題考查平行線分線段成比例定理，找準對應關系，避免錯選其他答案．

6．如圖，若∠1=∠2=∠3，則圖中的相似三角形有（）
 
 A． 1對 B． 2對 C． 3對 D． 4對

考點： 相似三角形的判定．
分析： 題目中給的角相等，從而根據兩個角對應相等的兩個三角形互為相似三角形，從而找出圖中的相似三角形．
解答： 解：①∵∠A=∠A，∠1=∠3，
∴△ADE∽△ABC．
②∵∠3=∠2，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADC．
③∵∠A=∠A，∠1=∠2，
∴△ADE∽△ABC．
④∵∠1=∠2，∠BCD=∠CDE，
∴△CDE∽△BCD．
所以有4對．
故選：D．
 
點評： 本題考查相似三角形的判定定理，關鍵是知道兩個角相等的三角形互為相似三角形．

7．圖中的兩個三角形是位似圖形，它們的位似中心是（）
 
 A． 點P B． 點O C． 點M D． 點N

考點： 位似變換．
分析： 根據位似變換的定義：對應點的連線交于一點，交點就是位似中心．即位似中心一定在對應點的連線上．
解答： 解：點P在對應點M和點N所在直線上，故選A．
點評： 位似圖形的位似中心位于對應點連線所在的直線上，點M、N為對應點，所以位似中心在M、N所在的直線上，因為點P在直線MN上，所以點P為位似中心．考查位似圖形的概念．

8．如圖，為了測量河岸A，B兩點的距離，在與AB垂直的方向上取點C，測得AC=a，∠ABC=α，那么AB等于（）
 
 A． a•sinα B． a•cosα C． a•tanα D． 

考點： 解直角三角形的應用．
分析： 根據已知角的正切值表示即可．
解答： 解：∵AC=a，∠ACB=α，在直角△ABC中tanα= ，
∴AB=a•tanα．
故選：C．
點評： 此題主要考查了解直角三角形的應用，正確記憶三角函數的定義是解決本題的關鍵．

9．如圖，△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分線，交BC于點D，那么 =（）
 
 A． sin∠BAC B． cos∠BAC C． tan∠B AC D． cot∠BAC

考點： 銳角三角函數的定義；角平分線的性質．
分析： 過點D作DE⊥AB于E，由角的平分線的性質得CD=DE，證明AB?AC=BE，則 =tan∠BDE，再證明∠BAC=∠BDE即可．
解答： 解：過點D作DE⊥AB于E．
∵AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB于E，DC⊥AC于C，
∴CD=DE．
∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL）
∴AE=AC．
∴ = =tan∠BDE．
∵∠BAC=∠BDE，（同角的余角相等）
∴ =tan∠BDE=tan∠BAC，
故選C．
 
點評： 此題主要考查銳角三角函數的定義，利用了角平分線的性質．

10．已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，有以下結論：
①a+b+c＜0；②a?b+c＞1；③abc＞0；④4a?2b+c＜0；⑤c?a＞1，
其中所有正確結論的序號是（）
 
 A． ①② B． ①③④ C． ①②③⑤ D． ①②③④⑤

考點： 二次函數圖象與系數的關系．
分析： 由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根據對稱軸及拋物線當x=1、x=?1和x=?2時的情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．
解答： 解：①當x=1時，y=a+b+c＜0，故①正確；
②當x=?1時，y=a?b+c＞1，故②正確；
③由拋物線的開口向下知a＜0，與y軸的交點為在y軸的正半軸上，
∴c＞0，對稱軸為x= =?1，得2a=b，
∴a、b同號，即b＜0，
∴abc＞0，故③正確；
④∵對稱軸為x= =?1，
∴點（0，1）的對稱點為（?2，1），
∴當x=?2時，y=4a?2b+c=1，故④錯誤；
⑤∵x=?1時，a?b+c＞1，又? =?1，即b=2a，
∴c?a＞1，故⑤正確．
故選：①②③⑤．
點評： 本題考查的是二次函數圖象與系數的關系，掌握二次函數的性質、靈活運用數形結合思想是解題的關鍵，解答時，要熟練運用拋物線的對稱性和拋物線上的點的坐標滿足拋物線的解析式

二、填空題
11．計算：sin60°•cos30°?tan45°= ．

考點： 特殊角的三角函數值．
專題： 計算題．
分析： 先把sin60°= ，tan45°=1，cos30°= 代入原式，再根據實數的運算法則進行計算．
解答： 解：sin60°•cos30°?tan45°，
= • ?1，
=? ．
故答案為：? ．
點評： 本題考查的是特殊角的三角函數值，熟記各特殊角的三角函數值是解答此題的關鍵．

12．如圖，若∠B=∠DAC，則△ABC∽△DAC，對應邊的比例式是 = = ．
 

考點： 相似三角形的性質．
分析： 根據兩角對應相等的兩個三角形相似可解，再根據相似三角形的性質寫出對應邊的比例式．
解答： 解：在△ABC和△DAC中，
∵∠C=∠C，∠B=∠DAC；
∴△ABC∽△DAC；
∴ = =
點評：  考查相似三角形的判定定理：
（1）兩角對應相等的兩個三角形相似．
（2）兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似．
（3）三邊對應成比例的兩個三角形相似．

13．如圖，若點A在反比例函數y= （k≠0）的圖象上，AM⊥x軸于點M，△AMO的面積為3，則k=?6．
 

考點： 反比例函數系數k的幾何意義．
專題： 數形結合．
分析： 過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個定值，即S= |k|．
解答： 解：因為△AOM的面積是3，
所以|k|=2×3=6．
又因為圖象在二，四象限，k＜0，
所以k=?6．
故答案為：?6．
點評： 主要考查了反比例函數 中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經常考查的一個知識點；這里體現了數形結合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．

14．已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），其中a，b，c滿足a+b+c=0和9a?3b+c=0，則該二次函數圖象的對稱軸是直線x=?1．

考點： 二次函數圖象與系數的關系．
專題： 壓軸題 ．
分析： 解方程求出a，b的值，再根據對稱軸公式即可求出該二次函數圖象的對稱軸．
解答： 解：方程9a?3b+c=0減去方程a+b+c=0，
可得8a?4b=0，
根據對稱軸公式整理得：對稱軸為x= =?1．
故該二次函數圖象的對稱軸是直線x=?1．
點評： 解決此題的關鍵是根據對稱軸公式的特點巧妙整理方程，運用技巧不但可以提高速度，還能提高準確率．

15．如圖，DE∥BC，EF∥AB，且S△ADE=4，S△EFC=9，則△ABC的面積為25．
 

考點： 相似三角形的判定與性質．
專題： 計算題．
分析： 相似三角形的面積比等于對應邊之比的平方，所以可先利用△EFC∽△ADE，得出對應線段的比，進而得出面積比，最后求出面積的值．
解答： 解：∵DE∥BC，EF∥AB
∴∠C=∠AED，∠FEC=∠A，
∴△EFC∽△ADE，
而S△ADE=4，S△EFC=9，
∴（ ）2= ，
∴EC：AE=3：2，
∴EC：AC=3：5，
∴S△EFC：S△ABC=（ ）2=（ ）2= ，
∴S△ABC=9× =25．
故答案為25．
點評： 本題考查了相似三角形的判定和性質，熟練掌握平行線分線段成比例的性質，理解相似三角形的面積比等于對應邊長的平方比．

三、解答題
16．如圖，△ABC是一倉庫的屋頂的橫截面，若∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求線段AB的長．
 

考點： 解 直角三角形的應用．
分析： 過點A作AD⊥BC，根據題意可以求得AD的值，再根據含30°角直角三角形中斜邊長為30°角所對直角邊一半，根據勾股定理即可解題．
解答： 解：過點A作AD⊥BC，
∵∠C=45°，
∴∠DAC=45°，
∴AD=CD，
∵AD2+CD2=AC2．
∴AD= ，
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，
∵∠BAD=30°，
∴AB=2AD，
解得AB=2 ．
 
點評： 本題考查了勾股定理的運用，考查了含30°角直角三角形中斜邊長為30°角所對直角邊一半的性質，考查了等腰直角三角形腰長相等的性質．

17．如圖，王明站在地面B處用測角儀器測得樓頂點E的仰角為45°，樓頂上旗桿頂點F的仰角為55°，已知測角儀器高AB=1.5米，樓高CE=14.5米，求旗桿EF的高度（精確到1米）．（供參考數據：sin55°≈0.8，cos55°≈0.57，tan55°≈1.4．）
 

考點： 解直角三角形的應用-仰角俯角問題．
專題： 應用題．
分析： 首先根據題意分析圖形，本題涉及到兩個直角三角形，分別解可得AD與DF的大小．再利用13+EF=13×1.4，進而可求出答案．
解答： 解：易知四邊形ABCD為矩形．
∴CD=AB=1.5米．
在等腰直角三角形ADE中，AD=DE÷tan45°=14.5?1.5=13米．
在直角三角形ADF中，DF=AD•×tan55°．
∴13+EF=13×1.4．
∴EF=5.2≈5（米）．
點評： 本題考查俯角、仰角的定義，要求學生能借助俯角、仰角構造直角三角形并結合圖形利用三角函數解直角三角形．

18．如圖，已知A（?4，2）、B（ n，?4）是一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數 的圖象的兩個交點．
（1）求此反比例函數和一次函數的解析式；
（2）根據圖象寫出使一次函數的值小于反比例函數的值的x的取值范圍．
 

考點： 反比例函數與一次函數的交點問題．
專題： 計算題；數形結合．
 分析： （1）先把A（?4，2）代入y= 求出m=?8，從而確定反比例函數的解析式為y=? ；再把B（n，?4）代入y=? 求出n=2，確定B點坐標為（2，?4），然后利用待定系數法確定一次函數的解析式；
（2）觀察圖象得到當?4＜x＜0或x＞2 時，一次函數的圖象都在反比例函數圖象的下方，即一次函數的值小于反比例函數的值．
解答： 解：（1）把A（?4，2）代入y= 得m=?4×2=?8，
∴反比例函數的解析式為y=? ；
把B（n，?4）代入y=? 得?4n=?8，解得n=2，
∴B點坐標為（2，?4），
把A（?4，2）、B（2，?4）分別代入y=kx+b得 ，解方程組得 ，
∴一次函數的解析式為y=?x?2；
（2）?4＜x＜0或x＞2．
點評： 本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：反比例函數圖象與一次函數圖象的交點坐標同時滿足兩個函數的解析式；求反比例函數圖象與一次函數圖象的交點坐標就是把兩個圖象的解析式組成方程組，方程組的解就是交點的坐標．也考查了待定系數法以及觀察函數圖象的能力．

19．如圖，在平面直角坐標系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．點P從點O開始沿OA邊向點A以1厘米/秒的速度移動；點Q從點B開始沿BO邊向點O以1厘米/秒的速度移動．如果P、Q同時出發，用t（秒）表示移動的時間（0≤t≤6），那么，當t為何值時，△POQ與△AOB相似？
 

考點： 相似三角形的判定；坐標與圖形性質．
專題： 動點型．
分析： 本題要分△OPQ∽△OAB和△OPQ∽△OBA兩種情況進行求解，可根據各自得出的對應成比例相等求出t的值．
解答： 解：①若△POQ∽△AOB時， = ，即 = ，
整理得：12?2t=t，
解得：t=4．
②若△POQ∽△BOA時， = ，即 = ，
整理得：6?t=2t，
解得：t=2．
∵0≤t≤6，
∴t=4和t=2均符合題意，
∴當t=4或t=2時，△POQ與△AOB相似．
點評： 本題主要考查了相似三角形的判定和性質．要注意解題時要根據不同的相似三角形進行分類討論，以防漏解．

20．如圖，在△ABC中，∠CAB=120°，AD是∠CAB的平分線，AC=6，AB=10．
（1）求 ；（2）求AD的長．
 

考點： 相似三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質；平行線分線段成比例．
分析： （1）過點C作CE∥AB，交AD的延長線于E，易得△ACE是等邊三角形與△CDE∽△BDA，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得 ；
（2）利用平行線分線段成比例定理，即可求得AD的長．
解答： 解：（1）過點C作CE∥AB，交AD的延長線于E，
∵AD平分∠CAB，∠CAB=120°，
∴∠CAD=∠BAD=60°．
∵CE∥AB，
∴∠E=∠BAD=60°，
∴△ACE是等邊三角形，
∴CE=AC=6．
又∵CE∥AB，
∴△CDE∽△BDA，
∴ = = = ；

（2）由（1）知，△ACE是等邊三角形，
∴AE=6．
∵CE∥AB，
∴ ，
即 ，
∴AD= AE= ×6= ．
 
點評： 此題考查了等邊三角形的判定與性質，以及相似三角形的判定與性質．解此題的關鍵是輔助線的作法，因此需要同學們多積累經驗．

21．某公司經銷一種綠茶，每千克成本為50元．市場調查發現，在一段時間內，銷售量w（千克）隨銷售單價x（元/千克）的變化而變化，具體關系式為：w=?2x+240．設這種綠茶在這段時間內的銷售利潤為y（元），解答下列問題：
（1）求y與x 的關系式；
（2）當x取何值時，y的值最大？
（3）如果物價部門規定這種綠茶的銷售單價不得高于90元/千克，公司想要在這段時間內獲得2250元的銷售利潤，銷售單價應定為多少元？

考點： 二次函數的應用．
分析： （1）因為y=（x?50）w，w=?2x+240
故y與x的關系式為y=?2x2+34 0x?12000．
（2）用配方法化簡函數式求出y的最大值即可．
（3）令y=2250時，求出x的解即可．
解答： 解：（1）y=（x?50）•w=（x?50）•（?2x+240）=?2x2+340x?12000，
∴y與x的關系式為：y=?2x2+340x?12000．

（2）y=?2x2+340x?12000=?2（x?85）2+2450
∴當x=85時，y的值最大．

（3）當y=2250時，可得方程?2（x?85）2+2450=2250
解這個方程，得x1=75，x2=95
根據題意，x2=95不合題意應舍去
∴當銷售單價為75元時，可獲得銷售利潤2250元．
點評： 本題考查的是二次函數的實際應用．求二次函數的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法．