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　　數學解題在數學教學過程中占重要地位，是實現教育教學目的不可缺少的手段，通過解題活動獲取知識，培養良好的思維品質，不斷提高數學邏輯思維能力，從而進一步培養解決問題的能力；可是，在解答數學問題的過程中，可能是成功的發現，也可能是失敗的嘗試，需要去偽存真，經受解題實踐的檢驗，如果某種探索被否定了，還可根據題目的實際情況對解題策略進行調控，修正解題途徑，甚至重新構思解題方案；平時教育學生學習知識要知其然，更要知其所以然，但在學生的解題過程中筆者認為，此時教師應做的是讓學生知其所以錯，如何去糾正錯誤，將“糾錯”這一環節充分地融入到教學過程中去，即“錯解”教學法。在“錯解”教學法過程中，能較全面地使學生理解和掌握知識，更好地把握問題實質，糾正學生平時做題的一些習慣性錯誤；可以使學生在原有認識的基礎上來一次再認識，從另一側面加深對知識的理解和運用，增強和提高學生能力。本文結合教學實踐談談“錯解”教學法對培養學生能力的一點粗淺體會。

　　一、培養分析問題的能力

　　例1.一種產品的成本原來是a元，在今后m年內，計劃使成本每年比上一年降低p%，寫出成本隨年數變化的函數關系式。

　　通過學生思考、演練、發現有如下幾種解答情形：

　　(1)設m年后的產量為y，則y=a(1-p%)m

　　(2)設第m年的產量為y，則y=a(1-p%)m

　　(3)設第x年產量為y，則y=a(1-p%)x()

　　分析：對解法(1)，題意理解不清，實際需寫m年內的任某一年的函數關系，而假設是指m年后的產量，與題意不符。對解法(2)，①題設中m為某一確定常數，而假設中m為變量；②、式y=a(1-p%)m中m為自變量，由題意知m≤m(今后m年內)，定義域不知為何；③、顯然，自變量知m可取無限個數，這與現實不符，因計劃只能定義在有限多少年內。對解法(3)，有如下推導：原來的年產量為a，則第一年產量為y1=a(1-p%)、第二年產量為y2=a(1-p%)2…、第n年產量yn=a(1-p%)n,它構成一個等比數列，首項為y1=a(1-p%),公比為q=1-p%,由此可得函數關系式為y=a(1-p%)x()。

　　反思：造成上述解法錯誤或不完整的原因

　　(1)指數m與m年內兩概念混淆；前m指自變量，后m指某一確定常數。

　　(2)不知建模或不知如何建模，僅憑感覺。

　　(3)對題意理解不透，沒有探索只是相當然。

　　(4)對函數概念本質不甚理解。

　　通過錯解糾錯，概念簡述，弄清問題實質。

　　二、培養學生的發散思維能力

　　例2、已知函數，當x取何值時，函數有量小值并求出最小值。

　　作變形，得，稍作提示得到如下多種結果：

　　(1)設A(-2、-4)、B(3、-2)、P(X、0)，則y=|PA|+|PB|由圖易知，且X=4/3

　　(2)設z1=(x+2)+4i、z2=(3-x)+2i，y=|z1|+|z2|≥|z1+z2|=|5+6i|=,有最小值，此時x=4/3。

　　(3)設z1=(x+2)+4i，z2=(3-x)-2i，則y=|z1|+|z2|≥|z1+z2|=|5+2i|=，即函數有最小值，此時x=8。

　　(4)設z1=(x+2)+4i，z2=（x-3）-2i，則y=|z1|+|z2|≥|z1-z2|=|5+6i|=,此時x=4/3

　　(5)設z1=(x+2)+4i,z2=(x-3)+2i則y=|z1|+|z2|≥|z1-z2|=|5+2i|=，此時x=8，

　　分析：明確肯定(1)正確，卻對(2)、(3)、(4)、(5)、學生就感到驚訝，模棱兩可，認為思路相同，方式一致，找不出存在的問題。

　　發散一：(一)(2)、(3)、(4)、(5)形式一致，本質是否相同？(二)(2)與(3)、(4)與(5)的假設略有不同，是否為問題的癥結？(三)|z1|+|z2|≥|z1+z2|,|z1|+|z2|≥|z1-z2|中等號成立的條件各是什么？解法是否與其相符？學生恍然大悟，得出|z1|+|z2|≥|z1+z2|等號成立的條件是向量z1與z2共線且同向，即存在實數a>0使得z1=az2；|z1|+|z2|≥|z1-z2|等號成立的條件是向量z1與z2共線且反向，即存在實數a<0使得z1=az2。通過上述發散，思路已較為清晰，已能確定哪些解法正確。

　　發散二：假設中的復數本身的實部與虛部能否互換？到此，問題已充分支解，前途一片光明。

　　三、提高觀察，創新思維能力。

　　教學過程中，不但要引導啟發學生正面接受知識，解答問題，而且還要針對實際，結合學生認知的“漏洞”和思維的“盲區”，對學生易于出現的錯誤，及時展示給學生，讓學生在討論中探究錯解出現的原因，從而做到調動學生學習的積極性，克服依賴性，從而提高學生的觀察、創新思維能力。

　　例3、已知雙曲線3x2-y2=3,過點P(1、1)能否作一直線L與所給的雙曲線交于兩點A、B，且使P恰好為線段AB的中點？

　　先讓學生思考，最后啟發提問，學生不難說出本題的兩種解題思路，然后教師可展示出兩種解法。

　　法一、設直線L的斜率為K，則直線L的方程為y-1=k(x-1),將其與雙曲線方程聯立，消去y得(3-k2)x2+(2k2-2k)x-(1-k)2-3=0,(x1+x2)/2=(k-k2)/(3-k2)=1,解得k=3

　　∴所求直線L的方程為y=3x-2

　　法二、設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則有3x12-y12=33x22-y22=3

　　兩式相減，得3(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0

　　又x1+x2=2,y1+y2=2

　　∴(y1-y2)(x1-x2)=3

　　∴kAB=3,從而得直線L的方程為y=3x-2

　　（師）：這兩法都很好!它是處理直線和二次曲線相交弦有關問題的常規方法，法一巧妙地利用了韋達定理，法二通過分離斜率，簡捷明快，但請大家注意觀察這兩種解法是否還存在缺陷呢？(學生演算或發表議論，有學生站起發表看法)

　　（生1）：所得直線y=3x-2與已知雙曲線沒有交點，所以所求不對。(教師以贊賞的表情給予肯定)

　　（生2）將x=1代入已知雙曲線方程得y=0，即坐標為(1、0)的點在雙曲線上，且為右頂點，所以點P(1、1)在雙曲線的外部，所以以P為中點的弦不存在。

　　（師）：既然以P為中點的弦不存在，那為什么又確切地求出了直線L的方程呢？(學生議論)

　　（生3）：在解1中，得到的關于x的一元二次方程，還需考慮判別式△>0，從而得出K的范圍，而K=3不在其范圍之內；對于解法二，只是“設”而不求，不知A、B兩點是否存在，應聯立所得直線與雙曲線方程，判斷是否有交點。

　　（師）：同學們回答得很好!兩種解法出錯的根源在于忽視了題設的存在性，忽略了某些環節。那么點P與雙曲線的位置關系如何時，才能存在所求直線？

　　（生4）：點P只有在雙曲線內部時才存在所求直線。

　　（師）：大家想一想，這種方法還適用于直線與哪些二次曲線相交的問題(討論)

　　（生5）：這種方法對圓、橢圓、拋物線都適用。(教師給予肯定)。

　　（師）：(總結)對存在性問題可先假設其存在，對直線二次曲線相交的中點弦問題一般均可“設”而不求，用分離斜率的方法或利用韋達定理求解，但要關注或驗證假設的可靠性。從而從“錯解”中尋求得出正確結論，此題通過驗證或采用數形結合思想可知，這樣的直線L不存在。

　　來源：233網校論文中心，作者：曾正云

本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.bianbian123.com/gaozhong/601674.html

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數學“錯解”效能

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