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作者：王林全

　　

　　數學教師所需嬰的知識問題，已經成為各國教師教育研究和教師培訓工作者關心與討論的熱點．在過去的30年，對教學所需的知識的關注不斷增加，有些人的關心源自感覺，也有些人的關心隨著課程改革而變化．課改的進展對教師的要求與日俱增．各國教師感受的壓力千差萬別，然而，如何界定數學教學所需要的知識，是普遍感到關切的問題．數學教師應該知道什么，他們知道了什么，什么知識是可靠的，這些知識是否可以度量?如何度量?數學教師如何獲得知識，在什么時候獲得知識，在哪里獲得并且鞏固這些知識?都是當前教師職業教育令人感興趣的問題．

　　

　　一、國際數學教育界關注的熱點問題

　　

　　近年已經成立國際社團，專門研究數學教師為教學的知識．在2008年召開的國際數學教育大會(1cME—11)上成立了研究這個問題的專門小組(rI'SG27：教學所需要的數學知識)．教師的數學知識以及作為數學職業工作者的知識，兩者有相似之處，d王有重要差別．差別何在?既是知識量不同，也在于知識領域不同．差異不僅表現為數學知識的性質，也表現為它的使用功能，人們劉兩者之問的差異正在研討．

　　

　　一些研究以試驗數據為基礎，一些對教師的數學知識作理論思考，從而提供了教師數學教育的新想法．研究挑戰了現行數學教師教育：一些大學的數學教師教育強調學術型的數學訓練，與數學教學實踐缺乏聯系．然而，加拿大魁北克雙語區的數學教師教育令人感到興奮，那兒有數學教師知識研究

　　

　　的實體，教師教育的作者在其中發揮主要作用．

　　

　　本文以及所給的例子說明，這個雙語社團這些年來得到了一批成果．職前數學教師教育取得各種各樣的發展，也受到一些干預．該團體頒布了數學教師教育的基本原理，它不僅從理論上闡述原理，而且也界定了教師的數學教學知識的范圍．

　　

　　利用教師合作研究的課例，可以更好地理解教師在數學教學中，在學習情境中所需要的知識．研究源于20世紀70年代，加拿大蒙特利爾大學頒布了中學數學教師教育大綱，提出了數學教師教學所需的數學知識的觀點，指出教師的知識由兩個相互補充的主軸構成：

　　

　　(1)從理論上說明數學教師在其數學教學中所需要的知識；

　　

　　(2)從教師的專業發展的角度對數學教學知識的結構成分和特點作出說明．

　　

　　這個大綱雖然幾經修改，但是一直指導著數學教師的職業發展．

　　

　　二、數學教學知識的四維結構

　　

　　這里所提供的教學課例，是由合作研究中心提出的，有關學生探索數學問題的一些片段，其目的是發展一個模型的過程，我們從兩個資料來源進行刻畫．論文引用了教師和研究者之間的交流，通過分析學生數學學習的一些過程，說明教師進行數學教學所需要的知識，它們的成分、結構與特征．

　　

　　課例1(初三)數學課j二，羅伊(Roy)老師提出一個問題，他交給學生一組形狀各異的紙片，讓學生把這組紙片放大到原來的125％．羅伊說明活動的意義．

　　

　　·他讓學生提m完成任務的方案與檢驗結果的標準，學生進行交流，并就不同的紙片如何一對應取得共識．羅伊給學生說明任務，讓他們思考有關策略，并相互解釋他們放大一個紙片圖形的策略，找出共同認可的策略．

　　

　　·教師引導學生相互合作進行工作．按照學習大綱的精神，學生個人能力和班級水平，指導學生

　　

　　“通過合作，實現每個人的潛力”．羅伊強調貫徹學習大綱及教學目標．注意合作學習的重要性，突出

　　

　　了制度的維度．

　　

　　·學生記錄活動的過程，數學的維度也隱藏在活動中．就是：

　　

　　(1)在選擇中體現對放大系數(一個百分數)的關注；

　　

　　(2)在活動中要求學生進行比例推理，包括需要理解位似中心、位似比和位似變換的知識；

　　

　　(3)在活動過程中，學生關注各種圖形的幾何特征性質，關注放大因子作為數的性質．

　　

　　數學活動的關鍵因素是教師對活動的設計，它是教學計劃的核心．在教學設計中，教師要調用四

　　

　　個維度的知識，即：

　　

　　(1)教學規定的維度：教學大綱，相應的教材和教學參考書，這些文獻所涉及的知識；

　　

　　(2)教學目標的維度：對活動目標的分析，關心它能夠推動什么，思考學生在活動中應該得到哪些方面的發展；

　　

　　(3)數學的維度：與活動相關的數學知識，如課例1，需要進行數學推理，推理中所用的概念，定理與性質，推理的數學表述，數學活動過程的記錄；

　　

　　(4)教學法的維度：與他人一起學習，在數學活動中，班級、小組構成小社會，師生交流，相互爭論，教學相長．

　　

　　由課例l可見，教師要從多方面考慮設計數學活動，需要把各種各樣的知識與能力有機結合起來，從而說明教師數學教學知識的多樣性與綜合性．

　　

　　三、數學教學知識的實踐性與綜合性

　　

　　以下提供的教學課例，用以說明教師對兩個不同學生小組的引領，看到教師對學習活動的指導作

　　

　　用，在教學中教師對行動作出各種調整．以下用不同年級、不同內容的教學課例，說明數學教學知識的特征．

　　

　　課例2(初一)教室里有兩堆不同顏色的單位小立方塊．教師讓學生小組考慮：利用這小立方塊可以堆砌高度一定的不同的塔．這些塔是用白色或黃色方塊構建的，同顏色的兩個方塊不能堆疊在一起，每個小塔的底部只放一個方塊．學生使用方塊做嘗試、教師問：

　　

　　·如規定小塔有五個方塊高，可以構建多少座不同構成的小塔?如規定小塔有六個方塊高，可以構建多少座不同構成的小塔?

　　

　　·是否可以找到構建塔數的規律和方法?解釋你是怎樣想到的．

　　

　　小組A學生根據問題進行工作，一些問題迅速呈現出來：

　　

　　(1)與任務相關問題的約束條件：羅伊推動學生重述沒有同顏色的方塊能夠堆疊在一起(但是除去這個條件后，再讓學生說明約束條件對解題的限制)，重新解決約束條件的問題．

　　

　　(2)提出有關塔的對稱性的相關問題：有學生問，如果塔的顏色依次為白白白白黃，是否等同于黃白白白白?羅伊建議想象一個真正的塔，其底層涂了黃色或白色，他問：“如果我們在每個不同的水平上涂色，我們是否得到同樣的塔?如果你說是或否，說出你的理由．”

　　

　　(3)有關只用一種顏色構建塔的可能性的問題，羅伊問他們：“如何看待這些塔要滿足題日的條件，即同顏色的方塊不能堆疊?”

　　

　　小組B有些學生欣賞從較小的塔人手的想法．某些小組開始明確敘述一個模式，并開始說明對于任意高度所能構建的符合條件的塔的個數．經過一段時間合作努力，小組得到較簡單情況下的結果．如下表．

　　

　　經過討論，學生達成了一些共識：

　　

　　·當高度是l到6時，所構建的塔都有兩種模式；

　　

　　·當高度是2以上時，塔的模式都是兩色相間的；

　　

　　·高度是3，5，7等奇數時，一種顏色方塊數日是奇數，另一顏色方塊數目是偶數；

　　

　　·高度是2，4，6等偶數時，構成塔的兩種顏色的方塊數目相等．

　　

　　還有一些意見是非數學的，例如有學生指出，“塔不能太高，否則塔就站不穩了．”

　　

　　開始時，學生對問題的處理是發散的，而教師的即時處理必須是根據課堂活動的具體情況機靈

　　

　　而有創意．在教師的指導下，學生傾向于注意約束條件，例如，規定從底層是一個方塊開始，這樣上面每一層也只放一個方塊．教師的教學處理不能預先設定，而要根據活動的具體進展“見機行事”，比較各組學生的情況，有針對性地進行．

　　

　　什么是“見機行事”?沒有必要做具體的解釋，教師在教學中的現場扮演，是對學生在活動中的具體處理的及時應答．

　　

　　·這種“在行動中扮演”就好比下棋，看學生如何做，教師要先讀棋，再應答．棋子支配著羅伊分析學生思維中的有關因素．例如，B組在開始概括模式時遇到困難，羅伊建議從簡單情況開始．又如出現同色兩方塊相鄰時，教師讓A組重述問題的約束條件．這種讀懂學生的思維表述，在一定的程度上是羅伊回答學生問題的標準．學生的行動是受一定的思維所支配的，教師應該關注學生的問題、解法、困難以及應對問題的途徑．

　　

　　·這種“見機行事”，涉及做事的方式．例如羅伊應答組A的關于塔的對稱性問題，他建議學生考慮顏色的順序，使得能夠按照相同標準處理．

　　

　　·這種“見機行事”涉及教帥教學的重要方面，這就意味著，教師通過適當的問題，讓學生鑒別他們的解答．這里也隱含師牛交流各自數學觀點以及解決問題的方法．

　　

　　從課例2可見，數學教師的教學知識，主要是在教學中產生，并在教學中得到檢驗和強化．在教

　　

　　學中所用到的知識，往往不局限于某個章節的知識，而是與數學其他分支，其他學科的知識綜合交

　　

　　織在一起的．對于課例1，用到了四個維度的知識；對于課例2，教師要用到排列組合的準備知識，數的奇偶性知識，重心與平衡的知識，模式與結構的知識，等等．在教學中所用到的知識，也不局限于數學內容的知識，還包括動手實踐，探索發現，從簡單到復雜，從特殊到一般等科學認識淪和方法論的原理．

　　

　　四、對學生解答的感知與教學決策

　　

　　對學生的關心與理解，是正確教學決策的前提，也是課堂教學有魅力的保證．下課前二十來分

　　

　　鐘時，羅伊要求學生寫出他們的問題和解答，他在班內巡視，看學生正在做什么，這涉及選取的策略

　　

　　和所用的理由．課后，他選出某些解答，第二天提供其他學生小組分享．這些選用的解答是對或者錯?

　　

　　哪些解題策略能在類似的情況下優先使用?迅速引起其他學生思考．他從中選出一個想法與眾不同的學生向全班介紹．事實上，羅伊傾向于請出不同學生，他認為，如果所請的學生過于集中，有時會引起負面效果．

　　

　　這是教學決策另一個關鍵方面：讓人人享有平等的機會，讓機敏而新穎的見解得以傳播，讓誤解及時得到澄清；讓人人學有所得，為后續教學的再投資留下伏筆．

　　

　　課例3對學生問題的再投資(高二)

　　

　　在一個國際活動中，來自不同國家的10位代表第一次見面，他們兩兩握手做自我介紹．試問：(a)在這次見面中有多少次不同的握手?(b)如果代表的人數多于10人，共有多少次握手?對于任意人數赴會，能否找出一種辦法計算不同的握手次數?(這問題和我國高中數學選修系列2—3課本第28頁例3實質是一樣的．)

　　

　　教師讓學生回憶該問題，有學生說很容易，羅伊認為這太好了，因為他想看到學生各種各樣的具體的思路，而不僅僅是答案．

　　

　　第一小組受邀上臺，卡拉與克羅蒂亞到講壇上出示答案，他的答案是=45．對于第二個問題，卡拉解釋說：例如，不妨設有20人，必須握手20×19次，再除以2．教師問為什么要除以2？卡拉

　　

　　回答說：甲乙握手與乙甲握手是一樣的，故要除以2．問題似乎已經解決，但教師還希望擴大收獲，此

　　

　　時恰有另一個學生伯納發問：

　　

　　為什么10個人得到45次握手，20人得到190握手呢?羅伊發動班里展開討論，并且問：“你們是

　　

　　怎樣想的?”兩個互相矛盾的觀點呈現在同學面前．

　　

　　伯納：“計算是錯誤的，因為如同10人的情況，你必須考慮到這樣的事實，握手的次數是隨著人數的減少而減少的．”

　　

　　巴卡爾：“對于20人，應該兩倍乘以l0人的握手數，因此答案是90而不是190．”

　　

　　羅伊要求學生考慮5人的情況：“我們應該如何處理?是不是該握手22．5次?”，有學生提出答案應該是握手15次，卡拉提出握手次數不可能是22．5··…·

　　

　　問題源于組合計數的章節，伯納的見解含有正確的成分，就是“人數越少，握手次數也少”；然而，他把握手次數)，與人數n的關系誤解為正比例關系，而實際不是如此．

　　

　　教師巧妙的設問以及所使用的反例，正是引導學生走出認知誤區的亮點．

　　

　　有學生指出y=，而伯納誤以為y與n是正比例關系，這正是一種誤解．教師及時理解學生進入數學誤區的原因，這是本課例取得成功的關鍵．教師要求學生們判斷伯納的想法是否正

　　

　　第二組同學指出，握手的次數不可能是22．5，因為握于次數是正整數，第一組所說的二次函數的定義域還應該是離散型的集合(圖3)，因為赴會人數n也是正整數．

　　

　　教師及時作了總結，同學們通過合作學習，把組合問題與二次函數聯系起來，義把連續型函數與離散型函數區分開來，我們的學習有了，新的收獲．

　　

　　這可見到教師在教學中各種各樣的扮演，在教育的水平上，羅伊把學生的問題拋回給學生分

　　

　　享，引導他們負責任地提出有效的解答．(在這里我們再次看到他堅持讓學生進行說理．)在數學的水

　　

　　平上，羅伊找出并提供反例，“如果是5人的情況，是否握手22．5次?”剛這個反例，反擊“加倍”的策略．這種反例也是對學生引導的策略，這種策略具有教育的意圖，因為羅伊的日的是引導學生反思自己的解答，推動并激發學生產生疑問．

　　

　　五、問題的突發性與應答的機敏性

　　

　　前面的課例，討論了教師數學教學的知識有三個基本特點：

　　

　　(1)它的性質接近于在行動中的知識，一個“見機行事”更甚于實際的知識；

　　

　　(2)它的情境特點：它與課堂出現的問題，以及解決問題的思路緊密相連；

　　

　　(3)學生問題的出現具有不可預知性，新課程要求教師能及時跟蹤學生的想法，要恰當地引導學生走出誤區，教師必須有較高的知識水平與較強的引領能力．

　　

　　數學教師在他們的教學中所從事的情境，在方法上與數學家大不相同．以上的課例說明了這些差

　　

　　異．在對問題的探索中(例如計算塔的個數問題)，一個數學家肯定把注意力集中在組合模型，尋找一般的公式，找出所有可能的塔數．在其中要規定各種各樣的約束條件(不同的顏色，不同的安排，等等)．教師在實際教學中處理這個問題時，就會從不同的視覺進入．他會聯系到學生，聯系到學牛各種各樣的策略，聯系到自然產生的模型，教師會根據這個模型，對問題及其各種解法進行再投資．如同課例2，教師不僅對排列組合模型感興趣，更對學生自然產生的模型，他們所陳述的道理，這些理由的有效性，以及他們所取得的進步感興趣．

　　

　　數學教學知識總是在教與學的線索中得以建立，得到解釋．設計教學情境，同時用到了各種各樣的知識來源，包括教育的，教學法的，數學的甚至是規定性的．這些維度不足一成不變的．數學思想

　　

　　方法的滲透是潛移默化的，關鍵是對學生情況的理解．課堂中的數學情境，總是把求解、探索結合在一起，各種因素綜合交織．各種因素不會單獨地扮演，它們總是相互影響，相互選擇，聯袂演出．

　　

　　在上述教學實踐中所需要的知識，即使稱之為教師的為教學的數學知識，也永遠不是純數學知識．它是各種知識的交織與組合，是非常特殊的知識．

　　

　　數學課堂教學，教師的職業活動，建構知識在教學中的切入點，指導著教師在教學中的扮演．

　　

　　這些知識通過其他活動得以發展和提煉，對學生發揮引領作用．這是近來研究教師教育實踐的新線

　　

　　索，也是教師職業發展的新趨勢．教師的感悟在實踐中生成，它是動態發展的知識，它既相對獨立實踐，又在實踐中逐步形成其意義．

　　

　　參考文獻

　　

　　[1]王林全．數學教師職業發展的現狀與前景一一來自南方的一組調查與分析[J]．數學教育學報，2009，(4)．

　　

　　【作者簡介】王林全，華南師范大學(510631)．

　　

　　【原文出處】《中學數學月刊》(蘇州)，2011．1．1～4
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.bianbian123.com/gaozhong/268464.html

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