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一、教學(xué)內(nèi)容與內(nèi)容解析

1．內(nèi)容：“曲線與方程”是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容：理科選修2-1的2.1.1的內(nèi)容,主要包括（1）曲線的方程與方程的曲線概念；（2）求曲線的方程的一般方法(步驟)；（3）坐標(biāo)法的基本思想與研究的基本問題.

2．內(nèi)容解析：

在平面直角坐標(biāo)系建立以后，點坐標(biāo)(有序?qū)崝?shù)對)；平面曲線(點的集合或軌跡)二元方程.因此, 曲線的方程是幾何曲線的一種代數(shù)表示，方程的曲線則是曲線的方程的一種幾何表示。曲線和方程的這種相互表示，揭示了幾何中的“形”與代數(shù)中的“數(shù)”的統(tǒng)一結(jié)合。曲線與方程的相互轉(zhuǎn)化，豐富了研究幾何問題數(shù)學(xué)方法，產(chǎn)生一門新數(shù)學(xué)學(xué)科---解析幾何，其方法論的意義影響深遠(yuǎn)，更便于人們在數(shù)字化時代，用計算機工具研究處理幾何問題。

研究曲線與方程的目的是把曲線的幾何特征轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系（方程），并通過代數(shù)運算處理已得到的數(shù)量關(guān)系,進(jìn)而得出曲線的幾何性質(zhì)以及研究他們之間的相互關(guān)系，并達(dá)到利用曲線為人們服務(wù)的目的．因此，通過這一部分內(nèi)容學(xué)習(xí)，可以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)中的代數(shù)方法的認(rèn)識，也能夠讓學(xué)生更好地體會數(shù)學(xué)的本質(zhì)．

“曲線和方程”是解析幾何中最基本（奠基）內(nèi)容，是學(xué)生體會并理解圓錐曲線與其方程的基礎(chǔ)。不但為學(xué)習(xí)橢圓、雙曲線、拋物線內(nèi)容做準(zhǔn)備，而且為學(xué)習(xí)研究其他曲線提供了理論和方法的準(zhǔn)備．因此，教學(xué)時不僅要讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何求曲線的方程，而且要通過這一內(nèi)容培養(yǎng)學(xué)生的坐標(biāo)法思想，使學(xué)生明白求出曲線方程的真正意義在于利用曲線的方程去研究曲線.

本節(jié)中的“曲線與方程”的概念，它是對以前學(xué)過的函數(shù)及其圖象、直線的方程、圓的方程等數(shù)學(xué)知識的思想方法提升、深化，是研究問題“由特殊到一般，再到特殊”整個過程的一個階段。它刻畫了曲線（幾何圖形）和方程（代數(shù)關(guān)系）間的一一對應(yīng)關(guān)系，并根據(jù)曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系，介紹了求解曲線方程的一般方法，并要求學(xué)生能通過方程來處理一些簡單的幾何問題，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生“初步通過研究方程來研究曲線的幾何性質(zhì)”目的。“數(shù)形結(jié)合思想”在本章中得到了充分體現(xiàn)，貫穿于研究圓錐曲線的全過程，

二、教學(xué)目標(biāo)與目標(biāo)解析

1．目標(biāo)：

（1）通過實例理解曲線的方程與方程的曲線的概念，能判斷已經(jīng)學(xué)習(xí)過的特殊的曲線與方程之間是否具有互為表示的關(guān)系；

（2）通過實例體會求曲線的方程的基本步驟，能求出給定幾何特征的曲線的方程；

（3）通過實例體會不同的平面直角坐標(biāo)系對同一曲線方程的影響，體會如何“恰當(dāng)”地建立平面直角坐標(biāo)系.

（4）通過一些簡單曲線的方程及其研究，體會坐標(biāo)法的基本思想及簡單應(yīng)用．

2．目標(biāo)解析：

教學(xué)目標(biāo)（1）和（2）是本節(jié)課的教學(xué)重點，教學(xué)時落實好目標(biāo)（1）、（2）和（3）是實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)（4）的前提與保證.

在學(xué)生通過函數(shù)y =f(x)及其圖象、直線與方程、圓與方程的學(xué)習(xí)，對曲線的方程與方程的曲線這些概念初步認(rèn)識的基礎(chǔ)上，現(xiàn)在的任務(wù)是要建立曲線與方程之間的一般性的概念，讓學(xué)生能從“定義”的角度去理解這些概念.

教學(xué)目標(biāo)（3）是學(xué)生初學(xué)時不易達(dá)到的目標(biāo)，教學(xué)時要提供學(xué)生熟悉的曲線（比如直線，圓等）在不同坐標(biāo)系中的方程的簡潔程度，讓學(xué)生體會建立坐標(biāo)系時應(yīng)該關(guān)注的要點．

對許多與曲線有關(guān)的具體問題而言，原本是沒有坐標(biāo)系的．因此，通過這樣的問題，可以使學(xué)生體會如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出問題中曲線的方程，并通過曲線的方程幫助解決問題，以便實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)（4）．

三、教學(xué)問題診斷分析

1．如何理解曲線與其方程之間的關(guān)系？學(xué)生可以很流利地背出曲線與其方程應(yīng)該滿足的兩條，但是如何證明“一條曲線與一個方程之間具有互為表示的關(guān)系”，這是學(xué)生學(xué)習(xí)時可能遇到的第一個教學(xué)問題. 這個問題可以結(jié)合“直線與其方程”、“圓與其方程”進(jìn)行說明．

2．在求曲線的方程時，如何建立平面直角坐標(biāo)系？這是學(xué)生會遇上的第二個教學(xué)問題，也是本節(jié)課的教學(xué)難點之一．教學(xué)時，應(yīng)通過實例，幫助學(xué)生總結(jié)出建立坐標(biāo)系的基本要點，并用具體問題讓學(xué)生練習(xí)進(jìn)行體會．

3．在將曲線上的點應(yīng)該滿足的幾何特征轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)應(yīng)滿足的等式后，常常遇上“將所得等式化簡得到所求方程”的問題．對于有些復(fù)雜的等式，化簡是一個學(xué)生不易把握的問題，學(xué)生在此極易出錯，這是第三個教學(xué)問題.教學(xué)時不能因為這個問題而使教學(xué)偏離重點，因而宜使用信息技術(shù)工具通過對比表示驗證方法解決這個問題.

4．學(xué)生學(xué)習(xí)時，可能會因更多地關(guān)注代數(shù)運算而忽略數(shù)學(xué)思想的提煉，這個教學(xué)問題的解決，需要教師有目的地進(jìn)行引領(lǐng).

四、教學(xué)支持條件

1．在進(jìn)行本節(jié)課的教學(xué)時，學(xué)生已經(jīng)在數(shù)學(xué)必修1中學(xué)習(xí)了函數(shù)y =f(x)及其圖象，在數(shù)學(xué)必修2中學(xué)習(xí)了直線與方程、圓與方程，這些內(nèi)容是學(xué)生理解曲線與方程概念的重要基礎(chǔ)，因此教學(xué)時應(yīng)充分利用這一教學(xué)以備條件，引導(dǎo)學(xué)生多進(jìn)行歸納與概括.

2．曲線與方程是數(shù)形結(jié)合的典范，教學(xué)這一內(nèi)容時會涉及大量圖形的繪制與方程的簡化等代數(shù)運算，因此，《幾何畫板》是重要的支持條件，教學(xué)中應(yīng)充分利用這一工具，不僅可以節(jié)省大量時間用于學(xué)生思考，而且可以對實際問題中的數(shù)據(jù)形象地進(jìn)行演示分析.

五、教學(xué)過程設(shè)計

[問題1]請同學(xué)們閱讀P34的內(nèi)容，對每個實例用簡練的兩句話進(jìn)行概括總結(jié)，（1）第一、三象限角平分線和二元方程x=y（或x-y=0）之間有什么對應(yīng)關(guān)系？（2）圓和二元方程之間有什么對應(yīng)關(guān)系？

在坐標(biāo)系中，

（1）        第一、三象限角平分線上任一點的坐標(biāo)都是二元方程x-y=0的解；

 （1’）  圓上任一點的坐標(biāo)都是二元方程的解；

（2）        以二元方程x-y=0的（任一）解為坐標(biāo)的點都在第一、三象限角平分線上。

(2’) 以二元方程的（任一）解為坐標(biāo)的點都在圓上。

意圖：從學(xué)生熟悉的曲線與方程的特例出發(fā)，為引出曲線的方程與方程的曲線的概念做鋪墊.

師生活動：讓學(xué)生嘗試直線與方程、圓與方程中，“曲線上的點與二元方程（實）解之間的對應(yīng)關(guān)系”的要求；教師向“一般曲線上的點與一般二元方程（實）解之間的對應(yīng)關(guān)系” 的要求上進(jìn)行引領(lǐng)，為介紹曲線的方程與方程的曲線的概念再做準(zhǔn)備.

[問題2] 在坐標(biāo)系中，對一般的曲線與二元方程，你能給出曲線的方程和方程的曲線的概念嗎？

意圖：給出曲線的方程與方程的曲線的概念.

師生活動：讓學(xué)生先概括表達(dá)，然后教師引領(lǐng)學(xué)生閱讀教材上的“定義”，給出曲線的方程和方程的曲線的概念.最后形象化給出：

[問題3]試談一談，我們對“方程f(x,y)=0是曲線的方程”、 “曲線C是方程f(x,y)=0的曲線” 的概念掌握，應(yīng)把握哪些方面呢？

意圖：加深對曲線的方程與方程的曲線的概念中關(guān)鍵方面的理解.

師生活動：學(xué)生回答，教師評析并給出：

㈠曲線的方程與方程的曲線的概念中的條件（1）、（2）缺一不可，相互獨立，并構(gòu)成一個完整一個整體；【練】學(xué)生完成教材P37練習(xí)第1題，并將題中的“中線AO（O為原點）所在直線的方程”修改為“中線AO（O為原點）的方程”后，提問學(xué)生結(jié)論有無改變？

㈡若“方程f(x,y)=0是曲線的方程”或 “曲線C是方程f(x,y)=0的曲線”前提下，點M在曲線C上其坐標(biāo)是方程的解；【練】學(xué)生完成P37練習(xí)第2題．

㈢曲線的方程的化簡過程一定要同解變形，否則，不滿足概念中的條件（1）、（2）。即打破“點與解間的一一對應(yīng)關(guān)系”；

㈣本概念是在“建立坐標(biāo)系”這一平臺作出的，所以“建系”不同，所求的方程形式不同。

 [問題4] 請畫出函數(shù)的圖象，圖象（曲線）C上的點相應(yīng)于坐標(biāo)軸的距離滿足什么關(guān)系等式（方程）？是否滿足這個關(guān)系等式（方程）的點都在圖象（曲線）C上？

意圖：理解用解析式表示的函數(shù)（方程）與其圖象（曲線）之間的關(guān)系，鞏固曲線的方程與方程的曲線的概念.

師生活動：（1）師生畫出函數(shù)的圖象C；（2）學(xué)生思考“圖象C上的點相應(yīng)于坐標(biāo)軸的距離滿足什么關(guān)系等式是“圖象C上的點到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積是常數(shù)k”；（3）學(xué)生思考“到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積是常數(shù)的點都在圖象C上”嗎？；（4）師生得出“到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積是常數(shù)k的點的軌跡方程是”；（5）證明所得結(jié)論，完成教材P35例1．

[問題5] 閱讀教材P35“2．1．2求曲線的方程”的第一段內(nèi)容，你能概括出解析幾何研究的問題以及研究幾何問題的思想方法（或具體方法）嗎？

意圖：明確解析幾何研究的基本內(nèi)容.

師生活動：學(xué)生閱讀教材并提煉回答內(nèi)容，請學(xué)生回答，教師點評總結(jié)：“研究曲線與方程的目的是把曲線的幾何特征轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系（方程），并通過代數(shù)運算處理已得到的數(shù)量關(guān)系,進(jìn)而得出曲線的幾何性質(zhì)以及研究他們之間的相互關(guān)系，并達(dá)到利用曲線為人們服務(wù)的目的”．并指出在這個過程中體現(xiàn)了解析幾何研究的兩個問題以及“數(shù)形結(jié)合”的思想方法（具體的方法為“坐標(biāo)法”）。

[問題6] 請學(xué)生們閱讀例2, 并對照例2的解題步驟,你們能寫出求曲線方程的一般步驟嗎？（略微提及例2的其他解法）

意圖：歸納求曲線的方程的步驟，體會坐標(biāo)法的基本思想．

師生活動：根據(jù)上述過程讓學(xué)生試總結(jié)求曲線的方程的步驟（見教材P36），特別要強調(diào)步驟5，并對步驟2、步驟5在解題中如何進(jìn)行量力處理.

 [問題7] 已知一條直線和一個點F，點F到l的距離是2．一條曲線上面的點到F的距離減去到l的距離所得的差都是2．你能建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出這條曲線的方程嗎？

意圖：幫助學(xué)生熟悉和鞏固求曲線的方程的步驟.進(jìn)一步鞏固強調(diào)步驟5在解題中如何進(jìn)行量力處理.

師生活動：（1）師生討論如何建立坐標(biāo)系；

（2）讓學(xué)生按步驟求出曲線的方程；

（3）師生討論如何添加所求曲線方程的附加約束條件（①在設(shè)任一點坐標(biāo)時，依幾何條件加以對坐標(biāo)約束；②方程化簡過程是否為同解變形，在哪一步不是同解變形？③用問題中幾何特征與所求方程曲線進(jìn)行比較檢驗）．

（4）【問】：有無其它建立坐標(biāo)系的方法，求點A的軌跡方程？所求得的方程與上面“點A的軌跡方程”相同嗎？教師歸納總結(jié)建立坐標(biāo)系的一般要點，并指出“建系”不同，所得方程不同，“建系”適當(dāng)與否，影響所求方程（形式）的簡易．【練】：教材P37練習(xí)第3題．

[問題8]建立坐標(biāo)系后，是否一條曲線方程唯一？你們對“坐標(biāo)法”解決幾何問題有何體會？請歸納一下本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容？

意圖：歸納總結(jié)本節(jié)內(nèi)容,突出重點知識和基本方法.

師生活動：學(xué)生思考交流，師生共同總結(jié).

五、目標(biāo)檢測設(shè)計

1．教材P37，習(xí)題2.1：A組第2、3、4題；B組第1、2題．

2．已知曲線的方程為，并且曲線經(jīng)過點，兩點，

    （1）求曲線的方程；

（2）若在的正半軸上存在一點，過點的直線交曲線，于，兩點，求的中點的軌跡方程.

作者簡介：王志軍 1968年12月22日生，河北省邢臺市人，1989年6月28日畢業(yè)于蘇州鐵道師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，2001年6月29日獲北京師范大學(xué)碩士學(xué)位。現(xiàn)在山西省百年重點名校太原五中擔(dān)任高中數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)競賽教學(xué)工作，中學(xué)數(shù)學(xué)高級教師，中國數(shù)學(xué)奧林匹克高級教練，山西省數(shù)學(xué)會資深教練。山西省太原市十大文明形象大使，山西省太原市教育系統(tǒng)優(yōu)秀黨員，優(yōu)秀班主任。自2001年至今，所帶學(xué)生獲全國高中數(shù)學(xué)奧林匹克國家級金牌2枚，銀牌3枚，銅牌4枚，由數(shù)學(xué)單科競賽成績被保送或加10～30分錄取進(jìn)入清華、北大學(xué)習(xí)的學(xué)生有31人，有58人獲全國高中聯(lián)賽山西省一等獎。所帶理科實驗班和普通班的數(shù)學(xué)高考成績?nèi)〉昧钊俗⒛康膬?yōu)異成績。主編的《高中數(shù)學(xué)問題誤解診療》大全第二卷由山西教育出版社出版，參編的《高中數(shù)學(xué)知識精講與能力訓(xùn)練》分冊（高三）由光明日報出版社出版，《高中數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)》（高三）由中央民族大學(xué)出版社出版，《2011年山西省高考數(shù)學(xué)應(yīng)試一點通》由山西經(jīng)濟(jì)出版社出版。在國家級、省（部）級學(xué)術(shù)期刊上發(fā)表論文《高中生在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中思維參與的研究》、《異面直線間定長連線段中點軌跡問題》、《以教導(dǎo)學(xué)  以學(xué)促教》、《就如何學(xué)好高中數(shù)學(xué)答學(xué)生及家長問》、《有關(guān)函數(shù) 、、、間定義域互求的幾點商榷》、《學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)應(yīng)注意的問題》、《高中數(shù)學(xué)教材（試驗修訂本）中平移內(nèi)容的新講與新編》9篇；在國家級、省（部）級教育教學(xué)報刊上發(fā)表教育性文章《我的師生觀》、《對評課的再認(rèn)識》、《漫談?wù)埣医蹋ㄉ稀⑾拢�》�?篇；發(fā)表的文學(xué)作品有《為師的“苦澀”》、《為師之悔》、《夢中情人》等。