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第十五章 復數
一、基礎知識
1．復數的定義：設i為方程x2=-1的根，i稱為虛數單位，由i與實數進行加、減、乘、除等運算。便產生形如a+bi（a,b∈R）的數，稱為復數。所有復數構成的集合稱復數集。通常用C來表示。
2．復數的幾種形式。對任意復數z=a+bi（a,b∈R），a稱實部記作Re(z),b稱虛部記作Im(z). z=ai稱為代數形式，它由實部、虛部兩部分構成；若將(a,b)作為坐標平面內點的坐標，那么z與坐標平面唯一一個點相對應，從而可以建立復數集與坐標平面內所有的點構成的集合之間的一一映射。因此復數可以用點來表示，表示復數的平面稱為復平面，x軸稱為實軸，y軸去掉原點稱為虛軸，點稱為復數的幾何形式；如果將(a,b)作為向量的坐標，復數z又對應唯一一個向量。因此坐標平面內的向量也是復數的一種表示形式，稱為向量形式；另外設z對應復平面內的點Z，見圖15-1，連接OZ，設∠xOZ=θ,OZ=r，則a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，這種形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，則θ稱為z的輻角。若0≤θ<2π，則θ稱為z的輻角主值，記作θ=Arg(z). r稱為z的模，也記作z，由勾股定理知z= .如果用eiθ表示cosθ+isinθ，則z=reiθ，稱為復數的指數形式。
3．共軛與模，若z=a+bi，（a,b∈R）,則 a-bi稱為z的共軛復數。模與共軛的性質有：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7）z1-z2≤z1±z2≤z1+z2；（8）z1+z22+z1-z22=2z12+2z22；（9）若z=1，則 。
4．復數的運算法則：（1）按代數形式運算加、減、乘、除運算法則與實數范圍內一致，運算結果可以通過乘以共軛復數將分母分為實數；（2）按向量形式，加、減法滿足平行四邊形和三角形法則；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2)，則z1??z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若 [cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指數形式記為z1z2=r1r2ei(θ1+θ2),
5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ).
6.開方：若 r(cosθ+isinθ)，則 ，k=0,1,2,…,n-1。
7．單位根：若wn=1，則稱w為1的一個n次單位根，簡稱單位根，記Z1= ，則全部單位根可表示為1, , .單位根的基本性質有（這里記 ，k=1,2,…,n-1）：（1）對任意整數k，若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有Znq+r=Zr；（2）對任意整數m，當n≥2時，有 = 特別1+Z1+Z2+…+Zn-1=0；（3）xn-1+xn-2+…+x+1=(x-Z1)(x-Z2)…(x-Zn-1)=(x-Z1)(x- )…(x- ).
8.復數相等的充要條件：（1）兩個復數實部和虛部分別對應相等；（2）兩個復數的模和輻角主值分別相等。
9．復數z是實數的充要條件是z= ;z是純虛數的充要條件是：z+ =0（且z≠0）.
10.代數基本定理：在復數范圍內，一元n次方程至少有一個根。
11．實系數方程虛根成對定理：實系數一元n次方程的虛根成對出現，即若z=a+bi(b≠0)是方程的一個根，則 =a-bi也是一個根。
12．若a,b,c∈R,a≠0，則關于x的方程ax2+bx+c=0，當Δ=b2-4ac<0時方程的根為
二、方法與例題
1．模的應用。
例1 求證：當n∈N+時，方程(z+1)2n+(z-1)2n=0只有純虛根。
[證明] 若z是方程的根，則(z+1)2n=-(z-1)2n，所以(z+1)2n=-(z-1)2n,即z+12=z-12,即(z+1)( +1)=(z-1)( -1)，化簡得z+ =0，又z=0不是方程的根，所以z是純虛數。
例2 設f(z)=z2+az+b,a,b為復數，對一切z=1，有f(z)=1，求a,b的值。
[解] 因為4=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b)
=f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)

≥f(1)+f(-1)+f(i)+f(-i)=4，其中等號成立。
所以f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四個向量方向相同，且模相等。
所以f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i)，解得a=b=0.
2.復數相等。
例3 設λ∈R，若二次方程(1-i)x2+(λ+i)x+1+λi=0有兩個虛根，求λ滿足的充要條件。
[解] 若方程有實根，則方程組 有實根，由方程組得(λ+1)x+λ+1=0.若λ=-1，則方程x2-x+1=0中Δ<0無實根，所以λ≠-1。所以x=-1, λ=2.所以當λ≠2時，方程無實根。所以方程有兩個虛根的充要條件為λ≠2。
3．三角形式的應用。
例4 設n≤2000,n∈N，且存在θ滿足(sinθ+icosθ)n=sinnθ+icosnθ，那么這樣的n有多少個？
[解] 由題設得
，所以n=4k+1.又因為0≤n≤2000，所以1≤k≤500，所以這樣的n有500個。
4．二項式定理的應用。
例5 計算：（1） ；（2）
[解] (1+i)100=[(1+i)2]50=(2i)50=-250,由二項式定理(1+i)100= = )+( )i，比較實部和虛部，得 =-250， =0。
5．復數乘法的幾何意義。
例6 以定長線段BC為一邊任作ΔABC，分別以AB，AC為腰，B，C為直角頂點向外作等腰直角ΔABM、等腰直角ΔACN。求證：MN的中點為定點。
[證明] 設BC=2a，以BC中點O為原點，BC為x軸，建立直角坐標系，確定復平面，則B，C對應的復數為-a,a,點A，M，N對應的復數為z1,z2,z3, ，由復數乘法的幾何意義得： ，① ，②由①+②得z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.設MN的中點為P，對應的復數z= ,為定值，所以MN的中點P為定點。
例7 設A，B，C，D為平面上任意四點，求證：AB?AD+BC?AD≥AC?BD。
[證明] 用A，B，C，D表示它們對應的復數，則(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)，因為A-B?C-D+B-C?A-D≥(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).
所以A-B?C-D+B-C?A-D≥A-C?B-D, “=”成立當且僅當 ，即 =π，即A，B，C，D共圓時成立。不等式得證。
6．復數與軌跡。
例8 ΔABC的頂點A表示的復數為3i，底邊BC在實軸上滑動，且BC=2，求ΔABC的外心軌跡。
[解]設外心M對應的復數為z=x+yi(x,y∈R)，B，C點對應的復數分別是b,b+2.因為外心M是三邊垂直平分線的交點，而AB的垂直平分線方程為z-b=z-3i，BC的垂直平分線的方程為z-b=z-b-2，所以點M對應的復數z滿足z-b=z-3i=z-b-2，消去b解得
所以ΔABC的外心軌跡是軌物線。
7．復數與三角。
例9 已知cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，求證：cos2α+cos2β+cos2γ=0。
[證明] 令z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,z3=cosγ+isinγ，則
z1+z2+z3=0。所以 又因為zi=1,i=1,2,3.
所以zi? =1，即
由z1+z2+z3=0得 ①
又
所以
所以cos2α+cos2β+cos2γ+i(sin2α+sin2β+sin2γ)=0.
所以cos2α+cos2β+cos2γ=0。
例10 求和：S=cos200+2cos400+…+18cos18×200.
[解] 令w=cos200+isin200,則w18=1，令P=sin200+2sin400+…+18sin18×200,則S+iP=w+2w2+…+18w18. ①由①×w得w(S+iP)=w2+2w3+…+17w18+18w19，②由①-②得(1-w)(S+iP)=w+w2+…+w18-18w19= ，所以S+iP= ，所以
8．復數與多項式。
例11 已知f(z)=c0zn+c1zn-1+…+cn-1z+cn是n次復系數多項式(c0≠0).
求證：一定存在一個復數z0,z0≤1，并且f(z0)≥c0+cn.
[證明] 記c0zn+c1zn-1+…+cn-1z=g(z),令 =Arg(cn)-Arg(z0)，則方程g(Z)-c0eiθ=0為n次方程，其必有n個根，設為z1,z2,…,zn，從而g(z)-c0eiθ=(z-z1)(z-z2)?…?(z-zn)c0，令z=0得-c0eiθ=(-1)nz1z2…znc0，取模得z1z2…zn=1。所以z1,z2,…，zn中必有一個zi使得zi≤1,從而f(zi)=g(zi)+cn=c0eiθ=cn，所以f(zi)=c0eiθ+cn=c0+cn.
9.單位根的應用。
例12 證明：自⊙O上任意一點p到正多邊形A1A2…An各個頂點的距離的平方和為定值。
[證明] 取此圓為單位圓，O為原點，射線OAn為實軸正半軸，建立復平面，頂點A1對應復數設為 ，則頂點A2A3…An對應復數分別為ε2，ε3，…，εn.設點p對應復數z,則z=1,且=2n-
=2n- 命題得證。
10．復數與幾何。
例13 如圖15-2所示，在四邊形ABCD內存在一點P，使得ΔPAB，ΔPCD都是以P為直角頂點的等腰直角三角形。求證：必存在另一點Q，使得ΔQBC，ΔQDA也都是以Q為直角頂點的等腰直角三角形。
[證明] 以P為原點建立復平面，并用A，B，C，D，P，Q表示它們對應的復數，由題設及復數乘法的幾何意義知D=iC,B=iA；取 ，則C-Q=i(B-Q)，則ΔBCQ為等腰直角三角形；又由C-Q=i(B-Q)得 ，即A-Q=i(D-Q)，所以ΔADQ也為等腰直角三角形且以Q為直角頂點。綜上命題得證。
例14 平面上給定ΔA1A2A3及點p0，定義As=As-3,s≥4，構造點列p0,p1,p2,…,使得pk+1為繞中心Ak+1順時針旋轉1200時pk所到達的位置，k=0,1,2,…,若p1986=p0.證明：ΔA1A2A3為等邊三角形。
[證明] 令u= ，由題設，約定用點同時表示它們對應的復數，取給定平面為復平面，則p1=(1+u)A1-up0,
p2=(1+u)A2-up1,
p3=(1+u)A3-up2,
①×u2+②×(-u)得p3=(1+u)(A3-uA2+u2A1)+p0=w+p0,w為與p0無關的常數。同理得p6=w+p3=2w+p0,…,p1986=662w+p0=p0，所以w=0，從而A3-uA2+u2A1=0.由u2=u-1得A3-A1=（A2-A1）u，這說明ΔA1A2A3為正三角形。
三、基礎訓練題
1．滿足(2x2+5x+2)+(y2-y-2)i=0的有序實數對(x,y)有__________組。
2．若z∈C且z2=8+6i,且z3-16z- =__________。
3.復數z滿足z=5，且(3+4i)?z是純虛數，則 __________。
4．已知 ，則1+z+z2+…+z1992=__________。
5.設復數z使得 的一個輻角的絕對值為 ，則z輻角主值的取值范圍是__________。
6．設z,w,λ∈C,λ≠1，則關于z的方程 -Λz=w的解為z=__________。
7.設08.若α，β是方程ax2+bx+c=0（a,b,c∈R）的兩個虛根且 ，則 __________。
9．若a,b,c∈C,則a2+b2>c2是a2+b2-c2>0成立的__________條件。
10．已知關于x的實系數方程x2-2x+2=0和x2+2mx+1=0的四個不同的根在復平面上對應的點共圓，則m取值的集合是__________。
11．二次方程ax2+x+1=0的兩根的模都小于2，求實數a的取值范圍。
12．復平面上定點Z0，動點Z1對應的復數分別為z0,z1，其中z0≠0，且滿足方程z1-z0=z1，①另一個動點Z對應的復數z滿足z1?z=-1，②求點Z的軌跡，并指出它在復平面上的形狀和位置。
13．N個復數z1,z2,…,zn成等比數列，其中z1≠1，公比為q,q=1且q≠±1,復數w1,w2,…,wn滿足條件：wk=zk+ +h，其中k=1,2,…,n,h為已知實數，求證：復平面內表示w1,w2,…,wn的點p1,p2,…,pn都在一個焦距為4的橢圓上。
四、高考水平訓練題
1．復數z和cosθ+isinθ對應的點關于直線iz+1=z+i對稱，則z=__________。
2.設復數z滿足z+z=2+i，那么z=__________。
3．有一個人在草原上漫步，開始時從O出發，向東行走，每走1千米后，便向左轉 角度，他走過n千米后，首次回到原出發點，則n=__________。
4.若 ，則z=__________。
5.若ak≥0,k=1,2,…,n，并規定an+1=a1，使不等式 恒成立的實數λ的最大值為__________。
6．已知點P為橢圓 上任意一點，以OP為邊逆時針作正方形OPQR，則動點R的軌跡方程為__________。
7．已知P為直線x-y+1=0上的動點，以OP為邊作正ΔOPQ(O，P，Q按順時針方向排列)。則點Q的軌跡方程為__________。
8．已知z∈C,則命題“z是純虛數”是命題“ ”的__________條件。
9．若n∈N，且n≥3,則方程zn+1+zn-1=0的模為1的虛根的個數為__________。
10．設(x2006+x2008+3)2007=a0+a1x+a2x2+…+anxn，則 +…+a3k- __________。
11.設復數z1,z2滿足z1? ,其中A≠0，A∈C。證明：
（1）z1+A?z2+A=A2； （2）
12．若z∈C,且z=1,u=z4-z3-3z2i-z+1.求u的最大值和最小值，并求取得最大值、最小值時的復數z.
13.給定實數a,b,c,已知復數z1,z2,z3滿足 求
az1+bz2+cz3的值。
三、聯賽一試水平訓練題
1．已知復數z滿足 則z的輻角主值的取值范圍是__________。
2．設復數z=cosθ+isinθ(0≤θ≤π)，復數z,(1+i)z，2 在復平面上對應的三個點分別是P，Q，R，當P，Q，R不共線時，以PQ，PR為兩邊的平行四邊形第四個頂點為S，則S到原點距離的最大值為__________。
3．設復平面上單位圓內接正20邊形的20個頂點所對應的復數依次為z1,z2,…,z20,則復數 所對應的不同點的個數是__________。
4．已知復數z滿足z=1，則z+iz+1的最小值為__________。
5．設 ，z1=w-z,z2=w+z,z1,z2對應復平面上的點A，B，點O為原點，∠AOB=900，AO=BO，則ΔOAB面積是__________。
6．設 ，則(x-w)(x-w3)(x-w7)(x-w9)的展開式為__________。
7．已知( )m=(1+i)n(m,n∈N+)，則mn的最小值是__________。
8．復平面上，非零復數z1,z2在以i為圓心，1為半徑的圓上， ?z2的實部為零，z1的輻角主值為 ，則z2=__________。
9.當n∈N,且1≤n≤100時， 的值中有實數__________個。
10．已知復數z1,z2滿足 ，且 ， ， ，則 的值是__________。
11．集合A={zz18=1},B={ww48=1},C={zwz∈A,w∈B}，問：集合C中有多少個不同的元素？
12．證明：如果復數A的模為1，那么方程 的所有根都是不相等的實根（n∈N+）.
13.對于適合z≤1的每一個復數z，要使0<αz+β<2總能成立，試問：復數α，β應滿足什么條件？
六、聯賽二試水平訓練題
1．設非零復數a1,a2,a3,a4,a5滿足

其中S為實數且S≤2，求證：復數a1,a2,a3,a4,a5在復平面上所對應的點位于同一圓周上。
2．求證： 。
3．已知p(z)=zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn是復變量z的實系數多項式，且p(i)<1，求證：存在實數a,b,使得p(a+bi)=0且(a2+b2+1)2<4b2+1.
4．運用復數證明：任給8個非零實數a1,a2,…,a8，證明六個數a1a3+a2a4, a1a5+a2a6, a1a7+a2a8, a3a5+a4a6, a3a7+a4a8,a5a7+a6a8中至少有一個是非負數。
5．已知復數z滿足11z10+10iz9+10iz-11=0，求證：z=1.
6.設z1,z2,z3為復數，求證：
z1+z2+z3+z1+z2+z3≥z1+z2+z2+z3+z3+z1。

本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.bianbian123.com/gaosan/79659.html

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