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2013高中數學精講精練 第二 函數
【知識導讀】

【方法點撥】
函數是中學數學中最重要，最基礎的內容之一，是學習高等數學的基礎．高中函數以具體的冪函數，指數函數，對數函數和三角函數的概念，性質和圖像為主要研究對象，適當研究分段函數，含絕對值的函數和抽象函數；同時要對初中所學二次函數作深入理解．
1.活用“定義法”解題．定義是一切法則與性質的基礎，是解題的基本出發點．利用定義，可直接判斷所給的對應是否滿足函數的條，證明或判斷函數的單調性和奇偶性等．
2.重視“數形結合思想”滲透．“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”．當你所研究的問題較為抽象時，當你的思維陷入困境時，當你對雜亂無的條感到頭緒混亂時，一個很好的建議：畫個圖像！利用圖形的直觀性，可迅速地破解問題，乃至最終解決問題．
3.強化“分類討論思想”應用．分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法．進行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統一的，不遺漏、不重復，科學地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的一條是“不漏不重”．
4.掌握“函數與方程思想”．函數與方程思想是最重要，最基本的數學思想方法之一，它在整個高中數學中的地位與作用很高．函數的思想包括運用函數的概念和性質去分析問題，轉化問題和解決問題．

第1 函數的概念
【考點導讀】
1.在體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型的基礎上，通過集合與對應的語言刻畫函數，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用；了解構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域和值域．
2.準確理解函數的概念，能根據函數的三要素判斷兩個函數是否為同一函數．
【基礎練習】
1．設有函數組：① ， ；② ， ；③ ， ；④ ， ；⑤ ， ．其中表示同一個函數的有___②④⑤___．
2.設集合 ， ，從 到 有四種對應如圖所示：

其中能表示為 到 的函數關系的有_____②③____．
3.寫出下列函數定義域：
(1) 的定義域為______________； (2) 的定義域為______________；
(3) 的定義域為______________； (4) 的定義域為_________________．
4．已知三個函數:(1) ； (2) ； (3) ．寫出使各函數式有意義時， ， 的約束條：
(1)______________________； (2)______________________； (3)______________________________．
5.寫出下列函數值域：
(1) ， ；值域是 ．
(2) ； 值域是 ．
(3) ， ． 值域是 ．

【范例解析】
例1.設有函數組：① ， ；② ， ；
③ ， ；④ ， ．其中表示同一個函數的有③④．
分析：判斷兩個函數是否為同一函數，關鍵看函數的三要素是否相同．
解：在①中， 的定義域為 ， 的定義域為 ，故不是同一函數；在②中， 的定義域為 ， 的定義域為 ，故不是同一函數；③④是同一函數．
點評：兩個函數當它們的三要素完全相同時，才能表示同一函數．而當一個函數定義域和對應法則確定時，它的值域也就確定，故判斷兩個函數是否為同一函數，只需判斷它的定義域和對應法則是否相同即可．
例2.求下列函數的定義域：① ； ② ；
解：（1）① 由題意得： 解得 且 或 且 ，
故定義域為 ．
② 由題意得： ，解得 ，故定義域為 ．
例3.求下列函數的值域：
（1） ， ；
（2） ；
（3） ．
分析：運用配方法，逆求法，換元法等方法求函數值域．
（1）解： ， ， 函數的值域為 ；
（2）解法一：由 ， ，則 ， ，故函數值域為 ．
解法二：由 ，則 ， ， ， ，故函數值域為 ．
（3）解：令 ，則 ， ，
當 時， ，故函數值域為 ．
點評：二次函數或二次函數型的函數求值域可用配方法；逆求法利用函數有界性求函數的值域；用換元法求函數的值域應注意新元的取值范圍．

【反饋演練】
1．函數f(x)＝ 的定義域是___________．
2．函數 的定義域為_________________．
3. 函數 的值域為________________．
4. 函數 的值域為_____________．
5．函數 的定義域為_____________________．
6.記函數f(x)= 的定義域為A，g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定義域為B．
(1) 求A；
(2) 若B A，求實數a的取值范圍．
解：(1)由2－ ≥0，得 ≥0，x<－1或x≥1， 即A=(－∞，－1)∪[1，+ ∞) ．
(2) 由(x－a－1)(2a－x)>0，得(x－a－1)(x－2a)<0．
∵a<1，∴a+1>2a，∴B=(2a，a+1) ．
∵B A， ∴2a≥1或a+1≤－1，即a≥ 或a≤－2，而a<1，
∴ ≤a<1或a≤－2，故當B A時， 實數a的取值范圍是(－∞,－2]∪[ ,1)．

第2 函數的表示方法
【考點導讀】
1.會根據不同的需要選擇恰當的方法（如圖像法，列表法，解析法）表示函數．
2.求解析式一般有四種情況：（1）根據某個實際問題須建立一種函數關系式；（2）給出函數特征，利用待定系數法求解析式；（3）換元法求解析式；（4）解方程組法求解析式．
【基礎練習】
1.設函數 ， ，則 _________； __________．
2.設函數 ， ,則 _____3_______； ； ．
3.已知函數 是一次函數，且 ， ,則 __15___．
4.設f(x)＝ ，則f[f( )]＝_____________．
5.如圖所示的圖象所表示的函數解析式為__________________________．
【范例解析】
例1.已知二次函數 的最小值等于4，且 ，求 的解析式．
分析：給出函數特征，可用待定系數法求解．
解法一：設 ，則 解得
故所求的解析式為 ．
解法二： ， 拋物線 有對稱軸 ．故可設 ．
將點 代入解得 ．故所求的解析式為 ．
解法三：設 ，由 ，知 有兩個根0，2，
可設 ， ，
將點 代入解得 ．故所求的解析式為 ．
點評：三種解法均是待定系數法，也是求二次函數解析式常用的三種形式：一般式，頂點式，零點式．
例2.甲同學家到乙同學家的途中有一公園，甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是2km，甲10時出發前往乙家．如圖，表示甲從出發到乙家為止經過的路程y（km）與時間x（分）的關系．試寫出 的函數解析式．

分析：理解題意，根據圖像待定系數法求解析式．
解：當 時，直線方程為 ，當 時，直線方程為 ，

點評：建立函數的解析式是解決實際問題的關鍵，把題中字語言描述的數學關系用數學符號語言表達．要注意求出解析式后，一定要寫出其定義域．
【反饋演練】
1．若 ， ，則 （ D ）
　�。粒� 　　　　　Ｂ． 　　　�。茫� 　　Ｄ．
2．已知 ，且 ，則m等于________．
3. 已知函數f(x)和g(x)的圖象關于原點對稱，且f(x)＝x2＋2x．求函數g(x)的解析式．
解：設函數 的圖象上任意一點 關于原點的對稱點為 ，
則
∵點 在函數 的圖象上
第3 函數的單調性
【考點導讀】
1.理解函數單調性，最大（�。┲导捌鋷缀我饬x；
2.會運用單調性的定義判斷或證明一些函數的增減性．
【基礎練習】
1.下列函數中：
① ； ② ； ③ ； ④ ．
其中，在區間(0，2)上是遞增函數的序號有___②___．
2.函數 的遞增區間是___ R ___．
3.函數 的遞減區間是__________．
4.已知函數 在定義域R上是單調減函數，且 ，則實數a的取值范圍__________．
5.已知下列命題：
①定義在 上的函數 滿足 ，則函數 是 上的增函數；
②定義在 上的函數 滿足 ，則函數 在 上不是減函數；
③定義在 上的函數 在區間 上是增函數，在區間 上也是增函數，則函數 在 上是增函數；
④定義在 上的函數 在區間 上是增函數，在區間 上也是增函數，則函數 在 上是增函數．
其中正確命題的序號有_____②______．
【范例解析】
例 . 求證：（1）函數 在區間 上是單調遞增函數；
（2）函數 在區間 和 上都是單調遞增函數．
分析：利用單調性的定義證明函數的單調性，注意符號的確定．
證明：（1）對于區間 內的任意兩個值 ， ，且 ，
因為
，
又 ，則 ， ，得 ，
故 ，即 ，即 ．
所以，函數 在區間 上是單調增函數．
（2）對于區間 內的任意兩個值 ， ，且 ，
因為 ，
又 ，則 ， ， 得，
故 ，即 ，即 ．
所以，函數 在區間 上是單調增函數．
同理，對于區間 ，函數 是單調增函數；
所以，函數 在區間 和 上都是單調增函數．
點評：利用單調性定義證明函數的單調性，一般分三步驟：（1）在給定區間內任意取兩值 ， ；（2）作差 ，化成因式的乘積并判斷符號；（3）給出結論．
例2.確定函數 的單調性．
分析：作差后，符號的確定是關鍵．
解：由 ，得定義域為 ．對于區間 內的任意兩個值 ， ，且 ，
則
又 ， ，
，即 ．
所以， 在區間 上是增函數．
點評：運用有理化可以對含根號的式子進行符號的確定．

【反饋演練】
1．已知函數 ，則該函數在 上單調遞__減__，（填“增”“減”）值域為_________．
2．已知函數 在 上是減函數，在 上是增函數，則 __25___.
3. 函數 的單調遞增區間為 .
4. 函數 的單調遞減區間為 ．
5. 已知函數 在區間 上是增函數，求實數a的取值范圍．
解：設對于區間 內的任意兩個值 ， ，且 ，
則 ，
， ， 得， ， ，即 ．
第4 函數的奇偶性
【考點導讀】
1.了解函數奇偶性的含義，能利用定義判斷一些簡單函數的奇偶性；
2.定義域對奇偶性的影響：定義域關于原點對稱是函數為奇函數或偶函數的必要但不充分條；不具備上述對稱性的，既不是奇函數，也不是偶函數．
【基礎練習】
1.給出4個函數：① ；② ；③ ；④ ．
其中奇函數的有___①④___；偶函數的有____②____；既不是奇函數也不是偶函數的有____③____．
2. 設函數 為奇函數，則實數 －1 ．
3.下列函數中，在其定義域內既是奇函數又是減函數的是（ A ）
A. B. C. D.
【范例解析】
例1.判斷下列函數的奇偶性：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6）
分析：判斷函數的奇偶性，先看定義域是否關于原點對稱，再利用定義判斷．
解：（1）定義域為 ，關于原點對稱； ,
所以 為偶函數．
（2）定義域為 ，關于原點對稱； ，
，故 為奇函數．
（3）定義域為 ，關于原點對稱； ， 且 ，
所以 既為奇函數又為偶函數．
（4）定義域為 ，不關于原點對稱；故 既不是奇函數也不是偶函數．
（5）定義域為 ，關于原點對稱； ， ，則 且 ，故 既不是奇函數也不是偶函數．
（6）定義域為 ，關于原點對稱；
， 又 ，
，故 為奇函數．
點評：判斷函數的奇偶性，應首先注意其定義域是否關于原點對稱；其次，利用定義即 或 判斷，注意定義的等價形式 或 ．
例2. 已知定義在 上的函數 是奇函數，且當 時， ，求函數 的解析式，并指出它的單調區間．
分析：奇函數若在原點有定義，則 ．
解：設 ，則 ， ．
又 是奇函數， ， ．
當 時， ．
綜上， 的解析式為 ．
作出 的圖像，可得增區間為 ， ，減區間為 ， ．
點評：（1）求解析式時 的情況不能漏；（2）兩個單調區間之間一般不用“ ”連接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通過“ ”實現轉化；（4）根據圖像寫單調區間．
【反饋演練】
1．已知定義域為R的函數 在區間 上為減函數，且函數 為偶函數，則（ D ）
A． B． C． D．
2. 在 上定義的函數 是偶函數，且 ，若 在區間 是減函數，則函數 （ B ）
A.在區間 上是增函數，區間 上是增函數
B.在區間 上是增函數，區間 上是減函數
C.在區間 上是減函數，區間 上是增函數
D.在區間 上是減函數，區間 上是減函數
3. 設 ，則使函數 的定義域為R且為奇函數的所有 的值為____1，3 ___．
4．設函數 為奇函數， 則 ________．
5．若函數 是定義在R上的偶函數，在 上是減函數，且 ，則使得 的x的取
值范圍是（－2，2）．
6. 已知函數 是奇函數．又 ， ,求a，b，c的值；
解：由 ，得 ，得 ．又 ，得 ，
而 ，得 ，解得 ．又 ， 或1．
若 ，則 ，應舍去；若 ，則 ．
所以， ．
綜上，可知 的值域為 ．
第5 函數的圖像
【考點導讀】
1.掌握基本初等函數的圖像特征，學會運用函數的圖像理解和研究函數的性質；
2.掌握畫圖像的基本方法：描點法和圖像變換法．
【基礎練習】
1.根據下列各函數式的變換，在箭頭上填寫對應函數圖像的變換：
（1） ；
（2） ．
2.作出下列各個函數圖像的示意圖：
（1） ； （2） ； （3） ．
解：（1）將 的圖像向下平移1個單位，可得 的圖像．圖略；
（2）將 的圖像向右平移2個單位，可得 的圖像．圖略；
（3）由 ，將 的圖像先向右平移1個單位，得 的圖像，再向下平移1個單位，可得 的圖像．如下圖所示：

3.作出下列各個函數圖像的示意圖：
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ．
解：（1）作 的圖像關于y軸的對稱圖像，如圖1所示；
（2）作 的圖像關于x軸的對稱圖像，如圖2所示；
（3）作 的圖像及它關于y軸的對稱圖像，如圖3所示；
（4）作 的圖像，并將x軸下方的部分翻折到x軸上方，如圖4所示．
4. 函數 的圖象是（ B ）
【范例解析】
例1.作出函數 及 ， ， ， ， 的圖像．
分析：根據圖像變換得到相應函數的圖像．
解： 與 的圖像關于y軸對稱；
與 的圖像關于x軸對稱；
將 的圖像向左平移2個單位得到 的圖像；
保留 的圖像在x軸上方的部分，將x軸下方的部分關于x軸翻折上去，并去掉原下方的部分；
將 的圖像在y軸右邊的部分沿y軸翻折到y軸的左邊部分替代原y軸左邊部分，并保留 在y軸右邊部分．圖略．
點評：圖像變換的類型主要有平移變換，對稱變換兩種．平移變換：左“+”右“－”，上“+”下“－”；對稱變換： 與 的圖像關于y軸對稱；
與 的圖像關于x軸對稱； 與 的圖像關于原點對稱；
保留 的圖像在x軸上方的部分，將x軸下方的部分關于x軸翻折上去，并去掉原下方的部分；
將 的圖像在y軸右邊的部分沿y軸翻折到y軸的左邊部分替代原y軸左邊部分，并保留 在y軸右邊部分．
例2.設函數 .
（1）在區間 上畫出函數 的圖像；
（2）設集合 . 試判斷集合 和 之間的關系，并給出證明.

分析：根據圖像變換得到 的圖像，第（3）問實質是恒成立問題．
解：（1）

（2）方程 的解分別是 和 ，由于 在 和 上單調遞減，在 和 上單調遞增，因此 .
由于 .

【反饋演練】
1．函數 的圖象是（ B ）
2. 為了得到函數 的圖象，可以把函數 的圖象向右平移1個單位長度得到．
3．已知函數 的圖象有公共點A，且點A的橫坐標為2，則 = ．
4．設f(x)是定義在R上的奇函數，且y=f (x)的圖象關于直線 對稱，則
f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_____0____ ．
5. 作出下列函數的簡圖：
（1） ； （2） ； （3） ．

第6 二次函數
【考點導讀】
1.理解二次函數的概念，掌握二次函數的圖像和性質；
2.能結合二次函數的圖像判斷一元二次方程根的存在性及根的個數，從而了解函數的零點與方程根的聯系．

【基礎練習】
1.已知二次函數 ,則其圖像的開口向__上__；對稱軸方程為 ；頂點坐標為 ，與 軸的交點坐標為 ，最小值為 ．
2.二次函數 的圖像的對稱軸為 ,則 __－2___，頂點坐標為 ，遞增區間為 ，遞減區間為 ．
3.函數 的零點為 ．
4.實系數方程 兩實根異號的充要條為 ；有兩正根的充要條為 ；有兩負根的充要條為 ．
5.已知函數 在區間 上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是__________．

【范例解析】
例1.設 為實數，函數 ， ．
（1）討論 的奇偶性；
（2）若 時，求 的最小值．
分析：去絕對值．
解：（1）當 時，函數
此時， 為偶函數．
當 時， ， ，
， ．
此時 既不是奇函數，也不是偶函數．
（2）
由于 在 上的最小值為 ，在 內的最小值為 ．
故函數 在 內的最小值為 ．
點評：注意分類討論；分段函數求最值，先求每個區間上的函數最值，再確定最值中的最值．
例2.函數 在區間 的最大值記為 ，求 的表達式．
分析：二次函數在給定區間上求最值，重點研究其在所給區間上的單調性情況．
解：∵直線 是拋物線 的對稱軸，∴可分以下幾種情況進行討論：
（1）當 時，函數 ， 的圖象是開口向上的拋物線的一段，
由 知 在 上單調遞增，故 ；
（2）當 時， ， ，有 =2；
（3）當 時，，函數 ， 的圖象是開口向下的拋物線的一段，
若 即 時， ，
若 即 時， ，
若 即 時， ．
綜上所述，有 = ．
點評：解答本題應注意兩點：一是對 時不能遺漏；二是對 時的分類討論中應同時考察拋物線的開口方向，對稱軸的位置及 在區間 上的單調性．

【反饋演練】
1．函數 是單調函數的充要條是 ．
2．已知二次函數的圖像頂點為 ，且圖像在 軸上截得的線段長為8，則此二次函數的解析式為 ．
3. 設 ，二次函數 的圖象為下列四圖之一：

則a的值為 （ B ）
A．1B．－1C． D．
4．若不等式 對于一切 成立，則a的取值范圍是 ．
5.若關于x的方程 在 有解，則實數m的取值范圍是 ．
6.已知函數 在 有最小值，記作 ．
（1）求 的表達式；
（2）求 的最大值．
解：（1）由 知對稱軸方程為 ，
當 時，即 時， ；
當 ，即 時， ；
當 ，即 時， ；
綜上， ．
（2）當 時， ；當 時， ；當 時， ．故當 時， 的最大值為3．
7. 分別根據下列條,求實數a的值：
（1）函數 在在 上有最大值2；
（2）函數 在在 上有最大值4．

解：（1）當 時， ，令 ，則 ；
當 時， ，令 ， （舍）；
當 時， ，即 ．
綜上，可得 或 ．
（2）當 時， ，即 ，則 ；
當 時， ，即 ，則 ．
綜上， 或 ．
8. 已知函數 ．
（1）對任意 ，比較 與 的大��；
（2）若 時，有 ，求實數a的取值范圍．
解：（1）對任意 ， ，
故 ．
（2）又 ，得 ，即 ，
得 ，解得 ．

第7 指數式與對數式
【考點導讀】
1.理解分數指數冪的概念，掌握分數指數冪的運算性質；
2.理解對數的概念，掌握對數的運算性質；
3.能運用指數，對數的運算性質進行化簡，求值，證明，并注意公式成立的前提條；
4.通過指數式與對數式的互化以及不同底的對數運算化為同底對數運算．
【基礎練習】
1.寫出下列各式的值：
； ____4____； ；
___0_____； ____1____； __－4__．
2.化簡下列各式：
（1） ；
（2） ．
3.求值：（1） ___－38____；
（2） ____1____；
（3） _____3____．
【范例解析】
例1. 化簡求值：
（1）若 ，求 及 的值；
（2）若 ，求 的值．
分析：先化簡再求值．
解：（1）由 ，得 ，故 ；
又 ， ； ，故 ．
（2）由 得 ；則 ．
點評：解條求值問題：（1）將已知條適當變形后使用；（2）先化簡再代入求值．
例2.（1）求值： ；
（2）已知 ， ，求 ．
分析：化為同底．
解：（1）原式= ；
（2）由 ，得 ；所以 ．
點評：在對數的求值過程中，應注意將對數化為同底的對數．
例3. 已知 ，且 ，求c的值．
分析：將a，b都用c表示．
解：由 ，得 ， ；又 ，則 ，
得 ． ， ．
點評：三個方程三個未知數，消元法求解．

【反饋演練】
1．若 ，則 ．
2．設 ，則 ．
3．已知函數 ，若 ，則 －b．
4．設函數 若 ，則x0的取值范圍是（－∞，－1）∪（1，+∞）．
5．設已知f (x6) = log2x，那么f (8)等于 ．
6．若 ， ，則k =__－1__．
7．已知函數 ，且 ．
（1）求實數c的值；
（2）解不等式 ．
解：（1）因為 ，所以 ，
由 ，即 ， ．
（2）由（1）得：
由 得，當 時，解得 ．
當 時，解得 ，
所以 的解集為 ．

第8 冪函數、指數函數及其性質
【考點導讀】
1.了解冪函數的概念，結合函數 ， ， ， ， 的圖像了解它們的變化情況；
2.理解指數函數的概念和意義，能畫出具體指數函數的圖像，探索并理解指數函數的單調性；
3.在解決實際問題的過程中，體會指數函數是一類重要的函數模型．
【基礎練習】
1.指數函數 是R上的單調減函數，則實數a的取值范圍是 ．
2.把函數 的圖像分別沿x軸方向向左，沿y軸方向向下平移2個單位，得到 的圖像，則 ．
3.函數 的定義域為___R__；單調遞增區間 ；值域 ．
4.已知函數 是奇函數，則實數a的取值 ．
5.要使 的圖像不經過第一象限，則實數m的取值范圍 ．
6.已知函數 過定點，則此定點坐標為 ．
【范例解析】
例1.比較各組值的大�。�
（1） ， ， ， ；
（2） ， ， ，其中 ；
（3） ， ．
分析：同指不同底利用冪函數的單調性，同底不同指利用指數函數的單調性．
解：（1） ，而 ，
．
（2） 且 ， ．
（3） ．
點評：比較同指不同底可利用冪函數的單調性，同底不同指可利用指數函數的單調性；另注意通過0，1等數進行間接分類．

例2.已知定義域為 的函數 是奇函數,求 的值；
解：因為 是奇函數，所以 =0，即
又由f（1）= －f（－1）知
例3.已知函數 ，求證：
（1）函數 在 上是增函數；
（2）方程 沒有負根．
分析：注意反證法的運用．
證明：（1）設 ， ，
， ，又 ，所以 ， ， ，則
故函數 在 上是增函數．
（2）設存在 ，滿足 ，則 ．又 ，
即 ，與假設 矛盾，故方程 沒有負根．
點評：本題主要考察指數函數的單調性，函數和方程的內在聯系．

【反饋演練】
1．函數 對于任意的實數 都有（ C ）
A． B．
C． D．
2．設 ，則（ A ）
A．－2<x<－1 B．－3<x<－2 C．－1<x<0 D．0<x<1
3．將y=2x的圖像 ( D ) 再作關于直線y=x對稱的圖像，可得到函數 的圖像．
A．先向左平行移動1個單位B．先向右平行移動1個單位
C．先向上平行移動1個單位D． 先向下平行移動1個單位
4．函數 的圖象如圖，其中a、b為常數，則下列結論正確的是（ C ）
A． B．
C． D．
5．函數 在 上的最大值與最小值的和為3，則 的值為___2__．
6．若關于x的方程 有實數根，求實數m的取值范圍．
解：由 得， ，
7．已知函數 ．
（1）判斷 的奇偶性；
（2）若 在R上是單調遞增函數，求實數a的取值范圍．
解：（1）定義域為R，則 ，故 是奇函數．
（2）設 ， ，
當 時，得 ，即 ；
當 時，得 ，即 ；
綜上，實數a的取值范圍是 ．

第9 對數函數及其性質
【考點導讀】
1.理解對數函數的概念和意義，能畫出具體對數函數的圖像，探索并理解對數函數的單調性；
2.在解決實際問題的過程中，體會對數函數是一類重要的函數模型；
3.熟練運用分類討論思想解決指數函數，對數函數的單調性問題．
【基礎練習】
1. 函數 的單調遞增區間是 ．
2. 函數 的單調減區間是 ．
【范例解析】
例1. （1）已知 在 是減函數，則實數 的取值范圍是_________．
（2）設函數 ，給出下列命題：
① 有最小值； ②當 時， 的值域為 ；
③當 時， 的定義域為 ；
④若 在區間 上單調遞增，則實數 的取值范圍是 ．
則其中正確命題的序號是_____________．
分析：注意定義域，真數大于零．
解：（1） ， 在 上遞減，要使 在 是減函數，則 ；又 在 上要大于零，即 ，即 ；綜上， ．
（2）① 有無最小值與a的取值有關；②當 時， ，成立；
③當 時，若 的定義域為 ，則 恒成立，即 ，即 成立；④若 在區間 上單調遞增，則 解得 ，不成立．
點評：解決對數函數有關問題首先要考慮定義域，并能結合對數函數圖像分析解決．
例3.已知函數 ，求函數 的定義域，并討論它的奇偶性和單調性.
分析：利用定義證明復合函數的單調性．
解：x須滿足 所以函數 的定義域為（－1，0）∪（0，1）.
因為函數 的定義域關于原點對稱，且對定義域內的任意x，有
，所以 是奇函數.
研究 在（0，1）內的單調性，任取x1、x2∈（0，1），且設x1<x2 ，則

得 >0，即 在（0，1）內單調遞減，
由于 是奇函數，所以 在（－1，0）內單調遞減.
點評：本題重點考察復合函數單調性的判斷及證明，運用函數性質解決問題的能力．
【反饋演練】
1．給出下列四個數：① ；② ；③ ；④ .其中值最大的序號是___④___.
2．設函數 的圖像過點 ， ，則 等于___5_ _．
3．函數 的圖象恒過定點 ，則定點 的坐標是 ．
4．函數 上的最大值和最小值之和為a，則a的值為 ．
5．函數 的圖象和函數 的圖象的交點個數有___3___個.
6．下列四個函數：① ； ② ；③ ；
④ .其中，函數圖像只能是如圖所示的序號為___②___.
7．求函數 , 的最大值和最小值．
解：
令 ， ，則 ，
即求函數 在 上的最大值和最小值．
故函數 的最大值為0，最小值為 ．
8．已知函數 ．
（1）求 的定義域；（2）判斷 的奇偶性；（3）討論 的單調性，并證明．
解：（1）解：由 ，故的定義域為 ．
（2） ，故 為奇函數．
（3）證明：設 ，則 ，
．
當 時， ，故 在 上為減函數；同理 在 上也為減函數；
當 時， ，故 在 ， 上為增函數．

第10 函數與方程
【考點導讀】
1.能利用二次函數的圖像與判別式的正負，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數，了解函數零點與方程根的聯系．
2.能借助計算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的實質．
3.體驗并理解函數與方程的相互轉化的數學思想方法．
【基礎練習】
1.函數 在區間 有_____1 ___個零點．
2.已知函數 的圖像是連續的，且 與 有如下的對應值表：
123456
－2.33.40－1.3－3.43.4
則 在區間 上的零點至少有___3__個．
【范例解析】
例1. 是定義在區間[－c，c]上的奇函數，其圖象如圖所示：令 ，
則下列關于函數 的結論：
①若a<0，則函數 的圖象關于原點對稱；
②若a=－1，－2<b<0，則方程 =0有大于2的實根；
③若a≠0， ，則方程 =0有兩個實根；
④若 ， ，則方程 =0有三個實根．
其中，正確的結論有___________．
分析：利用圖像將函數與方程進行互化．
解：當 且 時， 是非奇非偶函數，①不正確；當 ， 時， 是奇函數，關于原點對稱，③不正確；當 ， 時， ，由圖知，當 時， 才有三個實數根，故④不正確；故選②．
點評：本題重點考察函數與方程思想，突出考察分析和觀察能力；題中只給了圖像特征，因此，應用其圖，察其形，舍其次，抓其本．

例2.設 ，若 ， ， ．
求證：（1） 且 ；
（2）方程 在 內有兩個實根．
分析：利用 ， ， 進行消元代換．
證明：（1） ， ，由 ，得 ，代入 得：
，即 ，且 ，即 ，即證．
（2） ，又 ， ．則兩根分別在區間 ， 內，得證．
點評：在證明第（2）問時，應充分運用二分法求方程解的方法，選取 的中點 考察 的正負是首選目標，如不能實現 ，則應在區間內選取其它的值．本題也可選 ，也可利用根的分布做．

【反饋演練】
1．¬¬¬¬¬設 ， 為常數．若存在 ，使得 ，則實數a的取值范圍是 ．
2．設函數 若 ， ，則關于x的方程 解的個數為（ C ）
A．1B．2C．3D．4
3．已知 ，且方程 無實數根，下列命題：
①方程 也一定沒有實數根；②若 ，則不等式 對一切實數 都成立；
③若 ，則必存在實數 ，使
④若 ，則不等式 對一切實數 都成立．
其中正確命題的序號是 ①②④ ．
4．設二次函數 ，方程 的兩根 和 滿足 ．求實數 的取值范圍．
解：令 ，
則由題意可得 ．
故所求實數 的取值范圍是 ．
5．已知函數 是偶函數,求k的值；
解： 是偶函數，

由于此式對于一切 恒成立，
6．已知二次函數 ．若a>b>c，　且f（1）=0，證明f（x）的圖象與x軸有2個交點.
證明：
的圖象與x軸有兩個交點.

第11 函數模型及其應用
【考點導讀】
1.能根據實際問題的情境建立函數模型，結合對函數性質的研究，給出問題的解答．
2.理解數據擬合是用對事物的發展規律進行估計的一種方法，會根據條借助計算工具解決一些簡單的實際問題．
3.培養學生數學地分析問題，探索問題，解決問題的能力．
【基礎練習】
1今有一組實驗數據如下：
1.993.04.05.16.12
1.54.047.51218.01
現準備用下列函數中的一個近似地表示這些數據滿足的規律，
① ② ③ ④
其中最接近的一個的序號是______③_______．
2.某摩托車生產企業，上年度生產摩托車的投入成本為1萬元/輛，出廠價為1.2萬元/輛，年銷售量為1000輛.本年度為適應市場需求，計劃提高產品檔次，適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x(0 < x < 1)，則出廠價相應的提高比例為0.75x，同時預計年銷售量增加的比例為0.6x.已知年利潤 = (出廠價－投入成本)×年銷售量.
(Ⅰ)寫出本年度預計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關系式；
(Ⅱ)為使本年度的年利潤比上年有所增加，問投入成本增加的比例x應在什么范圍內？
解：（Ⅰ）由題意得y = [ 1.2×(1+0.75x)－1×(1 + x) ] ×1000×( 1+0.6x )（0 < x < 1）
整理得 y = －60x2 + 20x + 200（0 < x < 1）.
（Ⅱ）要保證本年度的利潤比上年度有所增加，當且僅當
即 解不等式得 .
答：為保證本年度的年利潤比上年度有所增加，投入成本增加的比例x應滿足0 < x < 0.33.

【范例解析】
例. 某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內，西紅柿市場售價與上市時間的關系用圖一的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關系用圖二的拋物線段表示．
(Ⅰ)寫出圖一表示的市場售價與時間的函數關系式p=f(t)；寫出圖二表示的種植成本與時間的函數關系式Q=g(t)；
(Ⅱ)認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大？

(注：市場售價和種植成本的單位：元/102kg，時間單位：天)
解：(Ⅰ)由圖一可得市場售價與時間的函數關系為

由圖二可得種植成本與時間的函數關系為
g(t)= (t－150)2+100，0≤t≤300．
(Ⅱ)設t時刻的純收益為h(t)，則由題意得
h(t)=f(t)－g(t)，
即
當0≤t≤200時，配方整理得
h(t)=－ (t－50)2+100，
所以，當t=50時，h(t)取得區間[0，200]上的最大值100；
當200<t≤300時，配方整理得：h(t)=－ (t－350)2+100，
所以，當t=300時，h(t)取得區間（200，300]上的最大值87.5．
綜上:由100>87.5可知，h(t)在區間[0，300]上可以取得最大值100，此時t=50，即從二月一日開始的第50天時，上市的西紅柿純收益最大
【反饋演練】
1．把長為12cm的細鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，則這兩個正三角形面積之和的最小值是___________ ．
2．某地高上溫度從腳起每升高100m降低0.7℃，已知頂的溫度是14.1℃，腳的溫度是26℃，則此的高度為_____17_____m．
3．某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤（單位：萬元）分別為L1=5.06x－0.15 x 2和L2=2 x，其中x為銷售量（單位：輛）.若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為____45.6___萬元．
4．某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為x，y(單位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架圍成的總面積8cm2. 問x、y分別為多少時用料最省?
解：由題意得 xy+ x2=8，∴y= = (0<x<4 ).
則框架用料長度為l=2x+2y+2( )=( + )x+ ≥4 .
當( + )x= ,即x=8－4 時等號成立.
此時，x=8－4 ， ，
故當x為8－4 m，y為 m時，用料最省.

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