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廣東省深圳市寶安區2012-2013學年九年級（上）期中
數學試卷
一、（本部分共12小題，每小題3分，共36分．每小題給出4個選項，其中只有一個正確）
1．（3分）如圖，是空心圓柱的兩種視圖，正確的是（　　）

　A． B． C． D．

考點：簡單組合體的三視圖．.
專題：幾何圖形問題．
分析：分別找到從正面，從上面看所得到的圖形即可，注意所有的棱都應表現在主視圖和俯視圖中．
解答：解：如圖所示，空心圓柱體的主視圖是圓環；
俯視圖是矩形，且有兩條豎著的虛線．
故選B．
點評：本題考查實物體的三視圖．在畫圖時一定要將物體的邊緣、棱、頂點都體現出來，看得見的輪廓線都畫成實線，看不見的畫成虛線，不能漏掉．
　
2．（3分）（2011•張家界）已知1是關于x的一元二次方程（?1）x2+x+1=0的一個根，則的值是（　　）
　A．1B．?1C．0D．無法確定

考點：一元二次方程的解；一元二次方程的定義．.
分析：把x=1代入方程，即可得到一個關于的方程，即可求解．
解答：解：根據題意得：（?1）+1+1=0，
解得：=?1．
故選B．
點評：本題主要考查了方程的解的定義，正確理解定義是關鍵．
　
3．（3分）（2010•義烏）小明打算暑假里的某天到上海世博會一日游，上午可以先從臺灣館、香港館、韓國館中隨機選擇一個館，下午再從加拿大館、法國館、俄羅斯館中隨機選擇一個館游玩．則小明恰好上午選中臺灣館，下午選中法國館這兩個場館的概率是（　�。�
　A． B． C． D．

考點：概率公式．.
專題：壓軸題．
分析：列舉出所有情況，看上午選中臺灣館，下午選中法國館的情況占總情況的多少即可．
解答：解：上午可選擇3個館，下午可選擇3個館，那么一共有3×3=9種可能，小明恰好上午選中臺灣館，下午選中法國館這兩個場館的概率是 ，故選A．
點評：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現種結果，那么事件A的概率P（A）= ．
　
4．（3分）（2012•德州）不一定在三角形內部的線段是（　�。�
　A．三角形的角平分線B．三角形的中線
　C．三角形的高D．三角形的中位線

考點：三角形的角平分線、中線和高；三角形中位線定理．.
專題：．
分析：根據三角形的高、中線、角平分線的性質解答．
解答：解：因為在三角形中，
它的中線、角平分線一定在三角形的內部，
而鈍角三角形的高在三角形的外部．
故選C．
點評：本題考查了三角形的高、中線和角平分線，要熟悉它們的性質方可解答．
　
5．（3分）用配方法解方程x2?4x+3=0，配方后的結果為（　�。�
　A．（x?1）（x?3）=0B．（x?4）2=13C．（x?2）2=1D．（x?2）2=7

考點：解一元二次方程-配方法．.
分析：配方法的一般步驟：
（1）把常數項移到等號的右邊；
（2）把二次項的系數化為1；
（3）等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方．
解答：解：∵x2?4x+3=0
∴x2?4x=?3
∴x2?4x+4=?3+4
∴（x?2）2=1
故選C．
點評：此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確應用．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數為1，一次項的系數是2的倍數．
　
6．（3分）（2012•濟寧）用直尺和圓規作一個角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC=∠BOC的依據是（　�。�

　A．SSSB．ASA
　C．AASD．角平分線上的點到角兩邊距離相等

考點：全等三角形的判定與性質；作圖―基本作圖．.
專題：證明題．
分析：連接NC，C，根據SSS證△ONC≌△OC，即可推出答案．
解答：解：連接NC，C，
在△ONC和△OC中
，
∴△ONC≌△OC（SSS），
∴∠AOC=∠BOC，
故選A．
點評：本題考查了全等三角形的性質和判定的應，主要考查學生運用性質進行推理的能力，題型較好，難度適中．
　
7．（3分）某商品原價為200元，為了吸引更多顧客，商場連續兩次降價后售價為162元，求平均每次降價的百分率是多少？設平均每次降價的百分率為x，根據題意可列方程為（　�。�
　A．162（1+x）2=200B．200（1?x）2=162
　C．200（1?2x）=162D．162+162（1+x）+162（1+x）2=200

考點：由實際問題抽象出一元二次方程．.
專題：增長率問題．
分析：第一次降價后的價格=原價×（1?降低的百分率），第二次降價后的價格=第一次降價后的價格×（1?降低的百分率），把相關數值代入即可．
解答：解：∵原價為200元，平均每次降價的百分率為x，
∴第一次降價后的價格=200×（1?x），
∴第二次降價后的價格=200×（1?x）×（1?x）=200×（1?x）2，
∴根據第二次降價后的價格為162元，列方程可得200（1?x）2=162，
故選B．
點評：本題考查求平均變化率的方法．若設變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經過兩次變化后的數量關系為a（1±x）2=b．
　
8．（3分）已知點（?1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函數y= 的圖象上．下列結論中正確的是（　　）
　A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1

考點：反比例函數圖象上點的坐標特征．.
分析：先把點（?1，y1），（2，y2），（3，y3）分別代入反比例函數解析式求出y1，y2，y3，分別比較大小即可．
解答：解：把點（?1，y1），（2，y2），（3，y3）分別代入反比例函數y= ，
得y1=1，y2=? ，y3=? ，
即y1＞y3＞y2．
故選B．
點評：本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征：反比例函數y= （k≠0）的圖象上的點的橫縱坐標之積為k．
　
9．（3分）（2006•曲靖）如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，將△BCD沿CD折疊，B點恰好落在AB的中點E處，則∠A等于（　　）

　A．25°B．30°C．45°D．60°

考點：等邊三角形的判定與性質．.
專題：壓軸題．
分析：先根據圖形折疊的性質得出BC=CE，再由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可得出CE=AE，進而可判斷出△BEC是等邊三角形，由等邊三角形的性質及直角三角形兩銳角互補的性質即可得出結論．
解答：解：△ABC沿CD折疊B與E重合，
則BC=CE，
∵E為AB中點，△ABC是直角三角形，
∴CE=BE=AE，
∴△BEC是等邊三角形．
∴∠B=60°，
∴∠A=30°，
故選B．
點評：考查直角三角形的性質，等邊三角形的判定及圖形折疊等知識的綜合應用能力及推理能力．
　
10．（3分）下列命題：
①方程x2=x的解是x=1；
②有兩邊和一角相等的兩個三角形全等；
③順次連接等腰梯形各邊中點所得的四邊形是菱形；
④4的平方根是2．
其中真命題有（　　）
　A．4個B．3個C．2個D．1個

考點：命題與定理．.
分析：利用因式分解法解方程x2=x可對①進行判斷；根據三角形全等的判定方法可對②進行判斷；由于等腰梯形的性質和菱形的判定方法可對③進行判斷；根據平方根的定義對④進行判斷．
解答：解：方程x2=x的解是x1=1，x2=0，所以①為假命題；有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等，所以②為假命題；順次連接等腰梯形各邊中點所得的四邊形是菱形，所以③為真命題；4的平方根是±2，所以④為假命題．
故選D．
點評：本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題；經過推理論證的真命題稱為定理．
　
11．（3分）（2011•鞍山）在同一個直角坐標系中，函數y=kx和 的圖象的大致位置是（　　）
　A． B． C． D．

考點：反比例函數的圖象；正比例函數的圖象．.
專題：壓軸題．
分析：根據正比例函數和反比例函數的圖象性質并結合其系數作答．
解答：解：由于正比例函數和反比例函數的比例系數相同，所以它們經過相同的象限，因而一定有交點，排除A，C；
又因為正比例函數一定經過原點，所以排除D．
故選B．
點評：本題主要考查了反比例函數的圖象性質和正比例函數的圖象性質，關鍵是由k的取值確定函數所在的象限．
　
12．（3分）（2013•宜城市模擬）如圖，在△ABC中，點E，D，F分別在邊AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四個判斷中，不正確的是（　�。�

　A．四邊形AEDF是平行四邊形
　B．如果∠BAC=90°，那么四邊形AEDF是矩形
　C．如果AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是菱形
　D．如果AD⊥BC且AB=AC，那么四邊形AEDF是正方形

考點：正方形的判定；平行四邊形的判定；菱形的判定；矩形的判定．.
分析：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，有一個角是90°的平行四邊形是矩形，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，四個角都是直角，且四個邊都相等的是正方形．
解答：解：A、因為DE∥CA，DF∥BA所以四邊形AEDF是平行四邊形．故本選項正確．
B、∠BAC=90°，四邊形AEDF是平行四邊形，所以四邊形AEDF是矩形．故本選項正確．
C、因為AD平分∠BAC，所以AE=DE，又因為四邊形AEDF是平行四邊形，所以是菱形．故本選項正確．
D、如果AD⊥BC且AB=BC不能判定四邊形AEDF是正方形，故本選項錯誤．
故選D．
點評：本題考查了平行四邊形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等知識點．
　
二、題（本題共4小題，每小題3分，共12分．）
13．（3分）雙曲線y= 的圖象經過點（2，4），則雙曲線的表達式是　 �。�

考點：待定系數法求反比例函數解析式．.
分析：利用待定系數法把（2，4）代入反比例函數y= 中，即可算出k的值，進而得到反比例函數解析式．
解答：解：∵雙曲線y= 的圖象經過點（2，4），
∴k=2×4=8，
∴雙曲線的表達式是y= ，
故答案為：y= ．
點評：此題主要考查了用待定系數法求反比例函數的解析式，關鍵是正確把點的坐標代入函數解析式．
　
14．（3分）（2010•蕭山區模擬）如圖，將正方形紙片ABCD分別沿AE、BF折疊（點E、F是邊CD上兩點），使點C與D在形內重合于點P處，則∠EPF=　120　度．

考點：翻折變換（折疊問題）；等邊三角形的性質；正方形的性質．.
分析：根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等．
解答：解：∵正方形紙片ABCD分別沿AE、BF折疊，∴AP=PB=AB，∠APB=60°．∴∠EPF=120°．
故答案為：120．
點評：本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱．
　
15．（3分）用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規律擺放，則第2012個圖共有　6037　枚棋子．

考點：規律型：圖形的變化類．.
分析：根據圖形中點的個數得到有關棋子個數的通項公式，然后代入數值計算即可．
解答：解：觀察圖形知：
第1個圖形有3+1=4個棋子，
第2個圖形有3×2+1=7個棋子，
第3個圖形有3×3+1=10個棋子，
第4個圖形有3×4+1=13個棋子，
…
第n個圖形有3n+1個棋子，
當n=2012時，3×2012+1=6037個，
故答案為：6037
點評：本題考查了圖形的變化類問題，能夠根據圖形得到通項公式是解決本題的關鍵．
　
16．（3分）（2007•南通）如圖，已知矩形OABC的面積為 ，它的對角線OB與雙曲線 相交于點D，且OB：OD=5：3，則k=　12�。�

考點：反比例函數系數k的幾何意義．.
專題：壓軸題．
分析：先找到點的坐標，然后再利用矩形面積公式計算，確定k的值．
解答：解：由題意，設點D的坐標為（xD，yD），
則點B的坐標為（ xD， yD），
矩形OABC的面積= xD× yD= ，
∵圖象在第一象限，
∴k=xD•yD=12．
點評：本題考查了反比例函數與幾何圖形的結合，綜合性較強，同學們應重點掌握．
　
三、解答題（本題共7小題，其中第17題5分，第18題6分，第19題8分，第20題7分，第21題8分，第22題9分，第23題9分，共52分）
17．（5分）（2012•安徽）解方程：x2?2x=2x+1．

考點：解一元二次方程-配方法．.
專題：壓軸題．
分析：先移項，把2x移到等號的左邊，再合并同類項，最后配方，方程的左右兩邊同時加上一次項系數一半的平方，左邊就是完全平方式，右邊就是常數，然后利用平方根的定義即可求解．
解答：解：∵x2?2x=2x+1，
∴x2?4x=1，
∴x2?4x+4=1+4，
（x?2）2=5，
∴x?2=± ，
∴x1=2+ ，x2=2? ．
點評：此題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：（1）把常數項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方；（4）選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數為1，一次項的系數是2的倍數．
　
18．（6分）小江計劃將魚在年底打撈出來運往某地出售，為了預訂車輛運輸，必須知道魚塘內共有多少千克的魚，他第一次從魚塘中打撈出100條魚，共240kg，作上記號后，又放回魚塘．過了兩天，又撈出200條魚，共510kg，且發現其中有記號的魚只有4條．
（1）估計魚塘中總共有多少條魚？
（2）若平均每千克魚可獲利潤5元，預計小江今年賣魚總利潤約多少錢？

考點：用樣本估計總體；分式方程的應用．.
專題：．
分析：（1）等量關系為：4÷200=100÷魚的總數，把相關數值代入計算即可；
（2）求得撈出魚的總重量，除以撈出魚的總條數即為一條魚的重量，乘以魚的總條數，再乘以每千克魚的利潤可得總利潤．
解答：解：（1）設魚塘中總共有x條魚，由題意 ，
解得x=5000，經檢驗，x=5000是原方程的根．
答：魚塘中總共有大約5000條魚．
（2）解：塘中平均每條魚約重（240+510）÷（（100+200）=2.5（kg）；
塘中魚的總質量約為2.5×5000=12500（kg）；
小江可獲利潤總額為12500×5=62500（元）
答：預計小江今年賣魚總利潤約62500元．
點評：考查用樣本估計總體的有關計算；用樣本概率估計總體是解決本題的思想；求得塘中平均每條魚的重量是解決本題的易錯點；用到的知識點為：樣本容量越大，得到的數值越精確．
　
19．（8分）（2008•恩施州）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交CD于點E，∠ADC的平分線交AB于點F．試判斷AF與CE是否相等，并說明理由．

考點：全等三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．.
專題：探究型．
分析：AF應該和CE相等，可通過證明三角形ADF和三角形BEC全等來實現．根據平行四邊形的性質我們可得出：AD=BC，∠A=∠C，∠ADC=∠ABC，因為DF和BE是∠ADC，∠CBA的平分線，那么不難得出∠ADF=∠CBE，這樣就有了兩角夾一邊，就能得出兩三角形全等了．
解答：解：AF=CE．理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=CB，∠A=∠C，∠ADC=∠ABC，
又∵∠ADF= ∠ADC，∠CBE= ∠ABC，
∴∠ADF=∠CBE，
在△ADF和△CBE中，

∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴AF=CE．
點評：求某兩條條線段相等，可通過證明他們所在的三角形全等來實現，判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．
　
20．（7分）在一次測量旗桿高度的活動中，某小組使用的方案如下：AB表示某同學從眼睛到腳底的距離，CD表示一根標桿，EF表示旗桿，AB、CD、EF都垂直于地面，若AB=1.6，CD=2，人與標桿之間的距離BD=1，標桿與旗桿之間的距離DF=30，求旗桿EF的高度．

考點：相似三角形的應用．.
專題：．
分析：過點A作AH⊥EF于H點，AH交CD于G，根據EF∥AB∥CD可求出EF、HB、GD，再根據相似三角形的判定定理可得△ACG∽△AEH，再根據三角形的相似比解答即可．
解答：解：過點A作AH⊥EF于H點，AH交CD于G，
∵CD∥EF，
∴△ACG∽△AEH，
∴ ，
即： ，
∴EH=12.4．
∴EF=EH+HF=12.4+1.6=14，
∴旗桿的高度為14米．

點評：此題難度不大，解答此題的關鍵是作出輔助線．構造出相似三角形，利用平行線的性質及相似三角形的相似比解答．
　
21．（8分）（2012•山西）山西特產專賣店銷售核桃，其進價為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后來經過市場調查發現，單價每降低2元，則平均每天的銷售可增加20千克，若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240元，請回答：
（1）每千克核桃應降價多少元？
（2）在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應按原售價的幾折出售？

考點：一元二次方程的應用．.
專題：增長率問題．
分析：（1）設每千克核桃降價x元，利用銷售量×每件利潤=2240元列出方程求解即可；
（2）為了讓利于顧客因此應下降6元，求出此時的銷售單價即可確定幾折．
解答：（1）解：設每千克核桃應降價x元． …1分
根據題意，得 （60?x?40）（100+ ×20）=2240． …4分
化簡，得 x2?10x+24=0 解得x1=4，x2=6．…6分
答：每千克核桃應降價4元或6元． …7分

（2）解：由（1）可知每千克核桃可降價4元或6元．
因為要盡可能讓利于顧客，所以每千克核桃應降價6元．
此時，售價為：60?6=54（元）， ． …9分
答：該店應按原售價的九折出售． …10分
點評：本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是根據題目中的等量關系列出方程．
　
22．（9分）（2010•達州）近年來，我國煤礦安全事故頻頻發生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO．在一次礦難事件的調查中發現：從零時起，井內空氣中CO的濃度達到4g/L，此后濃度呈直線型增加，在第7小時達到最高值46g/L，發生爆炸；爆炸后，空氣中的CO濃度成反比例下降．如圖所示，根據題中相關信息回答下列問題：
（1）求爆炸前后空氣中CO濃度y與時間x的函數關系式，并寫出相應的自變量取值范圍；
（2）當空氣中的CO濃度達到34g/L時，井下3k的礦工接到自動報警信號，這時他們至少要以多少k/h的速度撤離才能在爆炸前逃生？
（3）礦工只有在空氣中的CO濃度降到4g/L及以下時，才能回到礦井開展生產自救，求礦工至少在爆炸后多少小時才能下井？

考點：反比例函數的應用；一次函數的應用．.
專題：應用題；壓軸題．
分析：（1）根據圖象可以得到函數關系式，y=k1x+b（k1≠0），再由圖象所經過點的坐標（0，4），（7，46）求出k1與b的值，然后得出函數式y=6x+4，從而求出自變量x的取值范圍．再由圖象知 （k2≠0）過點（7，46），求出k2的值，再由函數式求出自變量x的取值范圍．
（2）結合以上關系式，當y=34時，由y=6x+4得x=5，從而求出撤離的最長時間，再由v= 速度．
（3）由關系式y= 知，y=4時，x=80.5，礦工至少在爆炸后80.5?7=73.5（小時）才能下井．
解答：解：（1）因為爆炸前濃度呈直線型增加，
所以可設y與x的函數關系式為y=k1x+b（k1≠0），
由圖象知y=k1x+b過點（0，4）與（7，46），
則 ，
解得 ，
則y=6x+4，此時自變量x的取值范圍是0≤x≤7．
（不取x=0不扣分，x=7可放在第二段函數中）
∵爆炸后濃度成反比例下降，
∴可設y與x的函數關系式為 （k2≠0）．
由圖象知 過點（7，46），
∴ ，
∴k2=322，
∴ ，此時自變量x的取值范圍是x＞7．

（2）當y=34時，由y=6x+4得，6x+4=34，x=5．
∴撤離的最長時間為7?5=2（小時）．
∴撤離的最小速度為3÷2=1.5（k/h）．

（3）當y=4時，由y= 得，x=80.5，
80.5?7=73.5（小時）．
∴礦工至少在爆炸后73.5小時才能下井．
點評：現實生活中存在大量成反比例函數的兩個變量，解答該類問題的關鍵是確定兩個變量之間的函數關系，然后利用待定系數法求出它們的關系式．
　
23．（9分）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分別是邊AB、AC上的兩個動點（D不與A、B重合），且保持DE∥BC，以ED為邊，在點A的異側作正方形DEFG．
（1）試求△ABC的面積；
（2）當邊FG與BC重合時，求正方形DEFG的邊長；
（3）設AD=x，當△BDG是等腰三角形時，求出AD的長．

考點：相似三角形的判定與性質；等腰三角形的性質；勾股定理；正方形的性質．.
專題：．
分析：（1）作底邊上的高，利用勾股定理求出高就可以求出面積．
（2）根據DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，再根據相似三角形對應高的比等于相似比即可求出邊DE的長度．
（3）根據△ADE∽△ABC得 = ，求出AD的長．
解答：解：（1）過A作AH⊥BC于H，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BH= BC=3，
∴AH= = =4，
∴S△ABC= BC•AH= ×6×4=12．

（2）令此時正方形的邊長為a，
∵DE∥BC，
∴ ，
∴a= ．

（3）當AD=x時，由△ADE∽△ABC得 = ，
即 = ，解得DE= x，
當BD=DG時，5?x= x，x= ，
當BD=BG時， = ，解得x= ，
當BG=DG時， = ，解得x= ，
∴當△BDG是等腰三角形時，AD= 或 或 ．

點評：本題考查了正方形、等腰三角形的性質，相似比等相關知識．綜合性較強，解題時要仔細．