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2018-2019學年四川省廣元市蒼溪縣九年級（上）期末數學試卷
　
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合要求的）
1．（3分）下列函數中，是二次函數的有（　　）
①y=1? x2②y= ③y=x（1?x）④y=（1?2x）（1+2x）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2．（3分）已知x=2是一元二次方程（m?2）x2+4x?m2=0的一個根，則m的值為（　�。�
A．0 B．4 C．0或4 D．0或?4
3．（3分）從 ，0，π，3.14，6這5個數中隨機抽取一個數，抽到有理數的概率是（　�。�
A．  B．  C．  D．
4．（3分）下列事件中，是必然事件的是（　�。�
A．打開電視，它正在播廣告
B．拋擲一枚硬幣，正面朝上
C．打雷后會下雨
D．367人中有至少兩人的生日相同
5．（3分）如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD，垂足為E，連接CO，AD，∠BAD=20°，則下列說法中正確的是（　　）
 
A．AD=2OB B．CE=EO C．∠OCE=40° D．∠BOC=2∠BAD
6．（3分）如圖，一農戶要建一個矩形花圃，花圃的一邊利用長為12m的住房墻，另外三邊用25m長的籬笆圍成，為方便進出，在垂直于住房墻的一邊留一個1m寬的門，花圃面積為80m2，設與墻垂直的一邊長為xm（已標注在圖中），則可以列出關于x的方程是（　　）
 
A．x（26?2x）=80 B．x（24?2x）=80 C．（x?1）（26?2x）=80 D．x（25?2x）=80
7．（3分）如圖，水平地面上有一面積為30πcm2的灰色扇形OAB，其中OA=6cm，且OA垂直于地面，將這個扇形向右滾動（無滑動）至點B剛好接觸地面為止，則在這個滾動過程中，點O移動的距離是（　�。�
 
A．10πcm B．20πcm C．24πcm D．30πcm
8．（3分）如圖，若a＜0，b＞0，c＜0，則拋物線y=ax2+bx+c的大致圖象為（　�。�
A．  B．  C．  D．
9．（3分）二次函數y=a（x?4）2?4（a≠0）的圖象在2＜x＜3這一段位于x軸的下方，在6＜x＜7這一段位于x軸的上方，則a的值為（　�。�
A．1 B．?1 C．2 D．?2
10．（3分）我們將在直角坐標系中圓心坐標和半徑均為整數的圓稱為“整圓”．如圖，直線l：y=kx+4 與x軸、y軸分別交于A、B，∠OAB=30°，點P在x軸上，⊙P與l相切，當P在線段OA上運動時，使得⊙P成為整圓的點P個數是（　�。�
 
A．6 B．8 C．10 D．12
　
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
11．（3分）若拋物線y=x2?bx+9的頂點在x軸上，則b的值為　    　．
12．（3分）在一個不透明的口袋里有紅、黃、藍三種顏色的小球，這些球除顏色外完全相同，其中有5個黃球，4個藍球．若隨機摸出一個藍球的概率為 ，則隨機摸出一個紅球的概率為　   �。�
13．（3分）在平面直角坐標系內，以點P（?1，0）為圓心、 為半徑作圓，則該圓與y軸的交點坐標是　   　．
14．（3分 ）如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上的點，  = ．若∠CAB=40°，則∠CAD=　   �。�
 
15．（3分）拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=1，與x軸的一個交點坐標為（?1，0），其部分圖象如圖所示，下列結論：
①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的兩個根是x1=?1，x2=3；
③ 3a+c=0；④當y＞0時，x的取值范圍是?1≤x＜3；⑤當x＜0時，y隨x增大而增大，其中結論正確的是　   　（只需填序號）
 
　
三、簡答題（本大題共9小題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
16．（6分）解方程：
（1）x2?2x?4=0
（2）用配方法解方程：2x2+1=3x
17．（6分）如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的三個頂點分別是A（?3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）將△ABC以點C為旋轉中心旋轉180°，畫出旋轉后對應的△A1B1C，平移ABC，若A的對應點A2的坐標為（0，?4），畫出平移后對應的△A2B2C2；
（2）若將△A1B1C繞某一點旋轉可以得到△A2B2C2，請直接寫出旋轉中心的坐標．
 
18．（7分）已知關于x的一元二次方程x2+3x?m=0有實數根．
（1）求m的取值范圍
（2）若兩實數根分別為x1和x2，且x12+x22=11，求m的值．
19．（8分）如圖，△ABC中，=90°，⊙I為△ABC的內切圓，點O為△ABC的外心，BC=6，AC=8．
（1） 求⊙I的半徑；
（2）求線段OI的長．
 
20．（8分）已知拋物線y=（x?m）2?（x?m），其中m是常數．
（1）求證：不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個公共點；
（2）若該拋物線的對稱軸為直線x= ．
①求該拋物線的函數解析式；
②把該拋物線沿y軸向上平移多少個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點．
21．（8分）如圖，△ABC是等腰三角形，且AC=BC，∠ACB=120°，在AB上取一點O，使OB=OC，以O為圓心，OB為半徑作圓，過C作CD∥AB交⊙O于點D，連接BD．
（1）猜想AC與⊙O的位置關系，并證明你的猜想；
（2）已知AC=6，求扇形OBC圍成的圓錐的底面圓半徑．
 
22．（10分）一個不透明的口袋中裝有4個完全相同的小球，分別標有數字1，2，3，4，另有一個可以自由旋轉的圓盤，被分成面積相等的3個扇形區域，分別標有數字1，2，3（如圖）．小穎和小亮想通過游戲來決定誰代表學校參加歌詠比賽，游戲規則為：一人從口袋中摸出一個小球，另一個人轉動圓盤，如果所摸球上的數字與圓盤上轉出數字之和小于4，那么小穎去，否則小亮去．
（1）用樹狀圖或列表法求出小穎參加比賽的概率；
（2）你認為該游戲公平嗎？請說明理由；若不公平，請修改該游戲規則，使游戲公平．
 
23．（10分）某網店銷售某款童裝，每件售價60元，每星期可賣300件，為了促銷，該網店決定降價銷售．市場調查反映：每降價1元，每星期可多賣30件．已知該款童裝每件成本價40元，設該款童裝每件售價x元，每星期的銷售量為y件．
（1）求y與x之間的函數關系式；
（2）當每件售價定為多少元時，每星期的銷售利潤最大，最大利潤多少元？
（3）若該網店每星期想要獲得不低于6480元的利潤，每星期至少要銷售該款童裝多少件？
24．（12分）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c過點A（?3，0），B（?2，3），C（0，3），其頂點 為D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設點M（1，m），當MB+MD的值最小時，求m的值；
（3）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△APC的面積的最大值；
（4）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點N，E為直線AC上任意一點，過點E作EF∥ND交拋物線于點F，以N，D，E，F為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標；若不能，請說明理由．
 
　
 

2018-2019學年四川省廣元市蒼溪縣九年級（上）期末數學試卷
參考答案與試題解析
　
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合要求的）
1．（3分）下列函數中，是二次函數的有（　�。�
①y=1? x2②y= ③y=x（1?x）④y=（1?2x）（1+2x）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【解答】解：①y=1? x2=? x2+1，是二次函數；
②y= ，分母中含有自變量，不是二次函數；
③y=x（1?x）=?x2+x，是二次函數；
④y=（1?2x）（1+2x）=?4x2+1，是二次函數．
二次函數共三個，故選C．
　
2．（3分）已知x=2是一元二次方程（m?2）x2+4x?m2=0的一個根，則m的值為（　　）
A．0 B．4 C．0或4 D．0或?4
【解答】解：把x=2代入（m?2）x2+4x?m2=0得4（m?2）+8?m2=0，
整理得m2?4m=0，
解得m1=0，m2=4．
此時m?2≠0，
所以m的值為0或4．
故選：C．
　
3．（3分）從 ，0，π，3.14，6這5個數中隨機抽取一個數，抽到有理數的概率是（　�。�
A．  B．  C．  D．
【解答】解：∵在 ，0，π，3.14，6這5個數中只有0、3.14和6為有理數，
∴從 ，0，π，3.14，6這5個數中隨機抽取一個數，抽到有理數的概率是 ．
故選：C．
　
4．（3分）下列事件中，是必然事件的是（　�。�
A．打開電視，它正在播廣告
B．拋擲一枚硬幣，正面朝上
C．打雷后會下雨
D．367人中有至少兩人的生日相同
【解答】解：A、打開電視，它正在播廣告是隨機事件，故A不符合題意；
B、拋擲一枚硬幣，正面朝上是隨機事件，故B不符合題意；
C、打雷后會下雨是隨機事件，故C不符合題意；
D、367人中有至少兩人的生日相同是必然事件，故D符合題意．
故選：D．
　
5．（3分）如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD，垂足為E，連接CO，AD，∠BAD=20°，則下列說法中正確的是（　�。�
 
A．AD=2OB B．CE=EO C．∠OCE=40° D．∠BOC=2∠BAD
【解答】解：∵AB⊥CD，
∴ = ，CE=DE，
∴∠BOC=2∠BAD=40°，
∴∠OCE=90°?40°=50°．
故選：D．
　
6．（3分）如圖，一農戶要建一個矩形花圃，花圃的一邊利用長為12m的住房墻，另外三邊用25m長的籬笆圍成，為方便進出，在垂直于住房墻的一邊留一個1m寬的門，花圃面積為80m2，設與墻垂直的一邊長為xm（已標注在圖中），則可以列出關于x的方程是（　�。�
 
A．x（26?2x）=80 B．x（24?2x）=80 C．（x?1）（26?2x）=80 D．x（25?2x）=80
【解答】解：設與墻垂直的一邊長為xm，則與墻平行的一邊長為（26?2x）m，
根據題意得：x（26?2x）=80．
故選：A．
　
7．（3分）如圖，水平地面上有一面積為30πcm2的灰色扇形OAB，其中OA=6cm，且OA垂直于地面，將這個扇形向右滾動（無滑動）至點B剛好接觸地面為止，則在這個滾動過程中，點O移動的距離是（　�。�
 
A．10πcm B．20πcm C．24πcm D．30πcm
【解答】解：設扇形的圓心角為n度，則
 =30π
∴n=300．
∵扇形的弧長為 =10π（cm），
∴點O移動的距離10πcm．
故選：A．
　
8．（3分）如圖，若a＜0，b＞0，c＜0，則拋物線y=ax2+bx+c的大致圖象為（　�。�
A．  B．  C．  D．
【解答】解：∵a＜0，
∴拋物線的開口方向向下，
故第三個選項錯誤；
∵c＜0，
∴拋物線與y軸的交點為在y軸的負半軸上，
故第一個選項錯誤；
∵a＜0、b＞0，對稱軸為x= ＞0，
∴對稱軸在y軸右側，
故第四個選項錯誤．
故選：B．
　
9．（3分 ）二次函數y=a（x?4）2?4（a≠0）的圖象在2＜x＜3這一段位于x軸的下方，在6＜x＜7這一段位于x軸的上方，則a的值為（　�。�
A．1 B．?1 C．2 D．?2
【解答】解：∵拋物線y=a（x?4）2?4（a≠0）的對稱軸為直線x=4，
而拋物線在6＜x＜7這一段位于x軸的上方，
∴拋物線在1＜x＜2這一段位于x軸的上方，
∵拋物線在2＜x＜3這一段位于x軸的下方，
∴拋物線過點（2，0），
把（2，0）代入y=a（x?4）2?4（a≠0）得4a?4=0，解得a=1．
故選：A．
　
10．（3分）我們將在直角坐標系中圓心坐標和半徑均為整數的圓稱為“整圓”．如圖，直線l：y=kx+4 與x軸、y軸分別交于A、B，∠OAB=30°，點P在x軸上，⊙P與l相切，當P在線段OA上運動時，使得⊙P成為整圓的點P個數是（　　）
 
A．6 B．8 C．10 D．12
【解答】解：∵直線l：y=kx+4 與x軸、y軸分別交于A、B，
∴B（0，4 ），
∴OB=4 ，
在RT△AOB中，∠OAB=30°，
∴OA= OB= × =12，
∵⊙P與l相切，設切點為M，連接PM，則PM⊥AB，
∴PM= PA，
設P（x，0），
∴PA=12?x，
∴⊙P的半徑PM= PA=6? x，
∵x為整數，PM為整數，
∴x可以取0，2，4，6，8，10，6個數，
∴使得⊙P成為整圓的點P個數是6．
故選：A．
 
　
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
11．（3分）若拋物線y=x2?bx+9的頂點在x軸上，則b的值為　±6�。�
【解答】解：∵拋物線y=x2?bx+9的頂點在x軸上，
∴頂點的縱坐標為零，即y= = =0，
解得b=±6．
　
12．（3分）在一個不透明的口袋里有紅、黃、藍三種顏色的小球，這些球除顏色外完全相同，其中有5個黃球，4個藍球．若隨機摸出一個藍球的概率為 ，則隨機摸出一個紅球的概率為　 　．
【解答】解：∵在一個不透明的口袋里有紅、黃、藍三種顏色的小球，三種球除顏色外其他完全相同，其中有5個黃球，4個藍球，
隨機摸出一個藍球的概率是 ，
設紅球有x個，
∴ = ，
解得：x=3
∴隨機摸出一個紅球的概率是：  = ．
故答案為： ．
　
13．（3分）在平面直角坐標系內，以點P（?1，0）為圓心、 為半徑作圓，則該圓與y軸的交點坐標是�。�0，2），（0，?2）�。�
【解答】解：如圖，∵由題意得，OM=1，MP= ，
∴OP= =2，
∴P（0，2）．
同理可得，N（0，?2）．
故答案為：（0，2），（0，?2）．
 
　
14．（3分）如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上的點，  = ．若∠CAB=40°，則∠CAD=　25°�。�
 
【解答】解：如圖，連接BC，BD，
∵AB為⊙O的直徑，
 ∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=40°，
∴∠ABC=50°，
∵ = ，
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC=25°，
∴∠CAD=∠CBD=25°．
故答案為：25°．
 
　
15．（3分）拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=1，與x軸的一個交點坐標為（?1，0），其部分圖象如圖所示，下列結論：
①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的兩個根是x1=?1，x2=3；
③3a+c=0；④當y＞0時，x的取值范圍是?1≤x＜3；⑤當x＜0時，y隨x增大而增大，其中結論正確的是�、佗冖邰荨。ㄖ恍杼钚蛱枺�
 
【解答】解：①∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴△=b2?4ac＞0，
∴4ac＜b2，結論①正確；
②∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=1，與x軸的一個交點坐標為（?1，0），
∴拋物線與x軸的另一交點坐標為（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的兩個根是x1=?1，x2=3，結論②正確；
③∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=1，
∴? =1，
∴b=?2a．
∵當x=?1時 ，y=0，
∴a?b+c=0，即3a+c=0，結論③正確；
④∵拋物線與x軸的交點坐標為（?1，0）、（3，0），
∴當y＞0時，x的取值范圍是?1＜x＜3，結論④錯誤；
⑤∵拋物線開口向下，對稱軸為直線x=1，
∴當x＜0時，y隨x增大而增大，結論⑤正確．
綜上所述：正確的結論有①②③⑤．
故答案為：①②③⑤．
　
三、簡答題（本大題共9小題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
16．（6分）解方程：
（1）x2?2x?4=0
（2）用配方法解方程：2x2+1=3x
【解答】解：（1）∵x2?2x=4，
∴x2?2x+1=4+1，即（x?1）2=5，
則x?1=± ，
∴x=1± ；

（2）∵2x2?3x=?1，
∴x2? x=? ，
∴x2? x+ =? + ，即（x? ）2= ，
則x? =± ，
解得：x1=1、x2= ．
　
17．（6分）如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的三個頂點分別是A（?3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）將△ABC以點C為旋轉中心旋轉180°，畫出旋轉后對應的△A1B1C，平移ABC，若A的對應點A2的坐標為（0，?4），畫出平移后對應的△A2B2C2；
（2）若將△A1B1C繞某一點旋轉可以得到△A2B2C2，請直接寫出旋轉中心的坐標．
 
【解答】解：（1）△A1B1C1如圖所示，△A2B2C2如圖所示；

（2）如圖，旋轉中心為（ ，?1）；
 
　
18．（7分）已知關于x的一元二次方程x2+3x?m=0有實數根．
（1）求m的取值范圍
（2）若兩實數根分別為x1和x2，且x12+x22=11，求m的值．
【解答】解：（1）∵關于x的一元二次方程 x2+3x?m=0有實數根，
∴△=b2?4ac=32+4m≥0，
解得：m≥? ；
（2）∵x1+x2=?3、x1x2=?m，
∴x12+x22=（x1+x2）2?2x1•x2=11，
∴（?3）2+2m=11，
解得：m=1．
　
19．（8分）如圖，△ABC中，  =90°，⊙I為△ABC的內切圓，點O為△ABC的外心，BC=6，AC=8．
（1）求⊙I的半徑；
（2）求線段OI的長．
 
【解 答】解：（1）設⊙I的 半徑為r，
∵△ABC中，∠C=90?，BC=6，AC=8，
∴AB= =10，
∴S△ABC= AC•BC= （AB+AC+BC）•r，
∴r= =2；
（2）設⊙I與△ABC的三邊分別切于點D，E，F，連接ID，IE，IF，
∴∠IEC=∠IFC=90°，
∵∠C=90°，
∴四邊形IECF是矩形，
∵IE=IF，
∴四邊形IECF是正方形，
∴CE=IE=2，
∴BD=BE=BC?CE=6?2=4，
∵點O為△ABC的外心，
∴AB是直徑，
∴OB= AB=5，
∴OD=OB?BD=5?4=1，
∴OI= ．
 
　
20．（8分）已知拋物線y=（x?m）2?（x?m），其中m是常數．
（1）求證：不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個公共點；
（2）若該拋物線的對稱軸為直線x= ．
①求該拋物線的函數解析式；
②把該拋物線沿y軸向上平移多少個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點．
【解答】（1）證明：y=（x?m）2?（x?m）=x2?（2m+1）x+m2+m，
∵△=（2m+1）2?4（m2+m）=1＞0，
∴不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個公共點；
（2）解：①∵x=? = ，
∴m=2，
∴拋物線解析式為y=x2?5x+6；
②設拋物線沿y軸向上平移k個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點，則平移后拋物線解析式為y=x2?5x+6+k，
∵拋物線y=x2?5x+6+k與x軸只有一個公共點，
∴△=52?4（6+k）=0，
∴k= ，
即把該拋物線沿y軸向上平移 個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點．
　
21．（8分）如圖，△ABC是等腰三角形，且AC=BC，∠ACB=120°，在AB上取一點O，使OB=OC，以 O為圓心，OB為半徑作圓，過C作CD∥AB交⊙O于點D，連接BD．
（1）猜想AC與⊙O的位置關系，并證明你的猜想；
（2）已知AC=6，求扇形OBC圍成的圓錐的底面圓半徑．
 
【解答】解：（1）AC與⊙O相切，
理由：
∵AC=BC，∠ACB=120°，
∴∠ABC=∠A=30°．
∵OB=OC，∠CBO=∠BCO=30°，
∴∠OCA=120°?30°=90°，
∴AC⊥OC，
又∵OC是⊙O的半徑，
∴AC與⊙O相切；

（2）在Rt△AOC中，∠A=30°，AC=6，
則tan30°= = = ，∠COA=60°，
解得：CO=2 ，
∴弧BC的弧長為：  = ，
設底面圓半徑為：r，
則2πr= ，
解得：r= ．
 
　
22．（10分）一個不透明的口袋中裝有4個完全相同的小球，分別標有數字1，2，3，4，另有一個可以自由旋轉的圓盤，被分成面積相 等的3個扇形區域，分別標有數字1，2，3（如圖）．小穎和小亮想通過游戲來決定誰代表學校參加歌詠比賽，游戲規則為：一人從口袋中摸出一個小球，另一個人轉動圓盤，如果所摸球上的數字與圓盤上轉出數字之和小于4，那么小穎去，否則小亮去．
（1）用樹狀圖或列表法求出小穎參加比賽的概率；
（2）你認為該游戲公平嗎？請說明理由；若不公平，請修改該游戲規則，使游戲公平．
 
【解答】解：（1）畫樹狀圖：
 
共有12種等可能性結果，其中數字之和小于4的有3種情況，
所以P（和小于4）= = ，
即小穎參加比賽的概率為 ；
（2）該游戲不公平．理由如下：
因為P（和不小于4）= ，
所以P（和小于4）≠P（和不小于4），
所以游戲不公平，可改為：若數字之和為偶數，則小穎去；若數字之和為奇數，則小亮去．
　
23．（10分）某網店銷售某款童裝，每件售價60元，每星期可賣300件，為了促銷，該網店決定降價銷售．市場調查反映：每降價1元，每星期可多賣30件．已知該款童裝每件成本價40元，設該款童裝每件售價x元，每星期的銷售量為y件．
（1）求y與x之間的函數關系式；
（2）當每件售價定為多少元時，每星期的銷售利潤最大，最大利潤多少元？
（3）若該網店每星期想要獲得不低于6480元的利潤，每星期至少要銷售該款童裝多少件？
【解答】解：（1）y=300+30（60?x）=?30x+2100．
（2）設每星期利潤為W元，
W=（x?40）（?30x+2100）=?30（x?55）2+6750．
∴x=55時，W最大值=6750．
∴每件售價定為55元時，每星期的銷售利潤最大，最大利潤6750元．
（3）由題意（x?40）（?30x+2100）≥6480，解得52≤x≤58，
當x=52時，銷售300+30×8=540，
當x=58時，銷售300+30×2=360，
∴該網店每星期想要獲得不低于6480元的利潤，每星期至少要銷售該款童裝360件．
　
24．（12分）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c過點A（?3，0），B（?2，3），C（0，3），其頂點為D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設點M（1，m），當MB+MD的值最小時，求m的值；
（3）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△APC的面積的最大值；
（4）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點N，E為直線AC上任意一點，過點E作EF∥ND交拋物線于點F，以N，D，E，F為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標；若不能，請說明理由．
 
【解答】解：（1）將A，B，C點的坐標代入解析式，得
 ，
解得 ，
拋物線的解析式為y=?x2?2x+3
（2）配方，得y=?（x+1）2+4，頂點D的坐標為（?1，4）
作B點關于直線x=1的對稱點B′，如圖1 ，
則B′（4，3），由（1）得D（?1，4），
可求出直線DB′的函數關系式為y=? x+ ，
當M（1，m）在直線DN′上時，MN+MD的值最小，
則m=? ×1+ = ．
（3）作PE⊥x軸交AC于E點，如圖2 ，
AC的解析式為y=x+3，設P（m，?m2?2m+3），E（m，m+3），
PE=?m2?2m+3?（m+3）=?m2?3m
S△APC = PE•|xA|= （?m2?3m）×3=? （m+ ）2+ ，
當m=? 時，△APC的面積的最大值是 ；
（4）由（1）、（2）得D（?1，4），N（?1，2）
點E在直線AC上，設E（x，x+3），
①當點E在線段AC上時，點F在點E上方，則F（x，?x2?2x+3），
∵EF=DN
∴?x2?2x+3?（x+3）=4?2=2，
解得，x=?2或x=?1（舍去），
則點E的坐標為：（?2，1）．
②當點E在線段AC（或CA）延長線上時，點F在點E下方，則F（x，?x2?2x+3），
∵EF=DN，
∴（x+3）?（?x2?2x+3）=2，
解得x= 或x= ，
即點E的坐標為：（ ， ）或（ ， ）
綜上可得滿足條件的點E為E（?2，1）或：（ ， ）或（ ， ）．