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2014-2015學年遼寧省大連市莊河二中八年級（上）第一次月考數學試卷
　
一、選擇題
1．下列長度的三條線段能組成三角形的是（　　）
　 A． 3，4，8 B． 5，6，11 C． 1，2，3 D． 5，6，10
　
2．下列圖形中有穩定性的是（　　）
　 A． 正方形 B． 長方形 C． 直角三角形 D． 平行四邊形
　
3．過多邊形的一個頂點可以引出6條對角線，則多邊形的邊數是（　　）
　 A． 7 B． 8 C． 9 D． 10
　
4．如圖，某同學把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是（　　）
 
　 A． 帶①去 B． 帶②去 C． 帶③去 D． 帶①和②去
　
5．如圖，點O是△ABC內一點，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，則∠BOC等于（　　）
 
　 A． 95° B． 120° C． 135° D． 無法確定
　
6．如圖，△ABC中，AD⊥BC，D為BC的中點，以下結論：
（1）△ABD≌△ACD；（2）AB=AC；
（3）∠B=∠C；（4）AD是△ABC的角平分線．
其中正確的有（　　）
 
　 A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個
　
7．如圖，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，則∠ACA′的度數為（　　）
 
　 A． 20° B． 30° C． 35° D． 40°
　
8．如圖，將一副三角板和一張對邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個三角板的一直角邊重合，含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含45°角的三角板的一個頂點在紙條的另一邊上，則∠1的度數是（　　）
 
　 A． 30° B． 20° C． 15° D． 14°
　
　
二、填空題
9．三角形的兩條邊為2cm和4cm，第三邊長是一個偶數，第三邊的長是　　　　　　．
　
10．一個多邊形的內角和是外角和的2倍，則這個多邊形的邊數為　　　　　　．
　
11．如圖點P是∠BAC的平分線AD上一點，PE⊥AC于點E．已知PE=3，則點P到AB的距離是　　　　　　．
 
　
12．如圖，已知AB=AD，需要條件（用圖中的字母表示）　　　　　　可得△ABC≌△ADC，根據是　　　　　　．
 
　
13．如圖，直線a、b、c表示三條互相交叉的公路，現要建一個貨物中轉站．要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有　　　　　　處．
 
　
14．如圖，AE=AD，∠B=∠C，BE=6，AD=4，則AC=　　　　　　．
 
　
15．如圖，已知△ABC的∠ABC和∠ACB的角平分線交于P，∠A=50°，則∠P=　　　　　　．
 
　
16．如圖，將紙片△ABC沿DE折疊，點A落在點P處，已知∠1+∠2=100°，則∠A的大小等于　　　　　　度．
 
　
　
三、解答題
17．用一條長為18cm細繩圍成一個等腰三角形．
（1）如果腰長是底邊的2倍，那么各邊的長是多少？
（2）能圍成有一邊的長為4cm的等腰三角形嗎？為什么？
　
18．如圖，已知在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC邊上的高，求∠DBC的度數．
 
　
19．如圖，AB=AC，BD=CD．求證：∠B=∠C．
 
　
20．如圖，AD=AE，∠EAB=∠DAC，∠B=∠C．求證：AB=AC．
 
　
　
四、解答題
21．如圖，點B、F、C、E在一條直線上，AB∥ED，AC∥FD，AB=DE．求證：FB=CE．
 
　
22．如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足為E、F，求證：EB=FC．
 
　
23．如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，BF=AC，FD=CD．求證：AC⊥BE．
 
　
　
五、解答題
24．如圖，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，且BD=CD．求證：
（1）BE=CF；
（2）∠ABD+∠ACD=180°．
 
　
25．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
（2）當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，求證：DE=AD?BE；
（3）當直線MN繞點C旋轉到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明．
 
　
26．如圖，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，點D為AB的中點．
（1）如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．
①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1s后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；
②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？
（2）若點Q以②中的運動速度從點C出發，點P以原來的運動速度從點B同時出發，都逆時針沿△ABC三邊運動，求經過多長時間點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？
 
　
　
 

2014-2015學年遼寧省大連市莊河二中八年級（上）第一次月考數學試卷
參考答案與試題解析
　
一、選擇題
1．下列長度的三條線段能組成三角形的是（　　）
　 A． 3，4，8 B． 5，6，11 C． 1，2，3 D． 5，6，10

考點： 三角形三邊關系．
分析： 根據三角形的三邊關系進行分析判斷．
解答： 解：根據三角形任意兩邊的和大于第三邊，得
A中，3+4=7＜8，不能組成三角形；
B中，5+6=11，不能組成三角形；
C中，1+2=3，不能夠組成三角形；
D中，5+6=11＞10，能組成三角形．
故選D．
點評： 本題考查了能夠組成三角形三邊的條件：用兩條較短的線段相加，如果大于最長的那條線段就能夠組成三角形．
　
2．下列圖形中有穩定性的是（　　）
　 A． 正方形 B． 長方形 C． 直角三角形 D． 平行四邊形

考點： 三角形的穩定性．
分析： 穩定性是三角形的特性．
解答： 解：根據三角形具有穩定性，可得四個選項中只有直角三角形具有穩定性．
故選：C．
點評： 穩定性是三角形的特性，這一點需要記憶．
　
3．過多邊形的一個頂點可以引出6條對角線，則多邊形的邊數是（　　）
　 A． 7 B． 8 C． 9 D． 10

考點： 多邊形的對角線．
分析： 設多邊形的邊數是x，根據n邊形從一個頂點出發可引出（n?3）條對角線可得x?3=6，再解方程即可．
解答： 解：設多邊形的邊數是x，由題意得：x?3=6，
解得：x=9，
故選：C．
點評： 此題主要考查了多邊形的對角線，關鍵是掌握n邊形從一個頂點出發可引出（n?3）條對角線．
　
4．如圖，某同學把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是（　　）
 
　 A． 帶①去 B． 帶②去 C． 帶③去 D． 帶①和②去

考點： 全等三角形的應用．
專題： 應用題．
分析： 此題可以采用全等三角形的判定方法以及排除法進行分析，從而確定最后的答案．
解答： 解：A、帶①去，僅保留了原三角形的一個角和部分邊，不能得到與原來一樣的三角形，故A選項錯誤；
B、帶②去，僅保留了原三角形的一部分邊，也是不能得到與原來一樣的三角形，故B選項錯誤；
C、帶③去，不但保留了原三角形的兩個角還保留了其中一個邊，符合ASA判定，故C選項正確；
D、帶①和②去，僅保留了原三角形的一個角和部分邊，同樣不能得到與原來一樣的三角形，故D選項錯誤．
故選：C．
點評： 主要考查學生對全等三角形的判定方法的靈活運用，要求對常用的幾種方法熟練掌握．
　
5．如圖，點O是△ABC內一點，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，則∠BOC等于（　　）
 
　 A． 95° B． 120° C． 135° D． 無法確定

考點： 三角形內角和定理．
專題： 探究型．
分析： 先根據三角形內角和定理求出∠OBC+∠OCB的度數，再根據∠BOC+（∠OBC+∠OCB）=180°即可得出結論．
解答： 解：∵∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，
∴∠OBC+∠OCB=180°?∠A?∠1?∠2=180°?80°?15°?40°=45°，
∵∠BOC+（∠OBC+∠OCB）=180°，
∴∠BOC=180°?（∠OBC+∠OCB）=180°?45°=135°．
故選C．
點評： 本題考查的是三角形內角和定理，即三角形內角和是180°．
　
6．如圖，△ABC中，AD⊥BC，D為BC的中點，以下結論：
（1）△ABD≌△ACD；（2）AB=AC；
（3）∠B=∠C；（4）AD是△ABC的角平分線．
其中正確的有（　　）
 
　 A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個

考點： 直角三角形全等的判定；全等三角形的性質．
分析： 先運用SAS證明△ABD≌△ACD，再得（1）△ABD≌△ACD正確；（2）AB=AC正確；（3）∠B=∠C正確；
∠BAD=∠CAD（4）AD是△ABC的角平分線．即可找到答案．
解答： 解：∵AD=AD、∠ADB=∠ADC、BD=CD
∴（1）△ABD≌△ACD正確；
∴（2）AB=AC正確；
（3）∠B=∠C正確；
∠BAD=∠CAD
∴（4）AD是△ABC的角平分線．
故選D．
點評： 本題重點考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，及全等三角形性質的運用．
　
7．如圖，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，則∠ACA′的度數為（　　）
 
　 A． 20° B． 30° C． 35° D． 40°

考點： 全等三角形的性質．
專題： 計算題．
分析： 本題根據全等三角形的性質并找清全等三角形的對應角即可．
解答： 解：∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠ACB=∠A′CB′，
即∠ACA′+∠A′CB=∠B′CB+∠A′CB，
∴∠ACA′=∠B′CB，
又∠B′CB=30°
∴∠ACA′=30°．
故選：B．
點評： 本題考查了全等三角形的判定及全等三角形性質的應用，利用全等三角形的性質求解．
　
8．如圖，將一副三角板和一張對邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個三角板的一直角邊重合，含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含45°角的三角板的一個頂點在紙條的另一邊上，則∠1的度數是（　　）
 
　 A． 30° B． 20° C． 15° D． 14°

考點： 平行線的性質．
分析： 延長兩三角板重合的邊與直尺相交，根據兩直線平行，內錯角相等求出∠2，再利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式計算即可得解．
解答： 解：如圖，∠2=30°，
∠1=∠3?∠2=45°?30°=15°．
故選C．
 
點評： 本題考查了平行線的性質，三角板的知識，熟記平行線的性質，三角板的度數是解題的關鍵．
　
二、填空題
9．三角形的兩條邊為2cm和4cm，第三邊長是一個偶數，第三邊的長是　4cm　．

考點： 三角形三邊關系．
分析： 根據三角形的三邊關系先確定第三邊的范圍，進而就可以求出第三邊的長．
解答： 解：設第三邊為acm，根據三角形的三邊關系可得：4?2＜a＜4+2．
即：2＜a＜6，
由于第三邊的長為偶數，
則a可以為4cm．
故答案為：4cm．
點評： 此題主要考查了三角形三邊關系，要注意三角形形成的條件：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．
　
10．一個多邊形的內角和是外角和的2倍，則這個多邊形的邊數為　6　．

考點： 多邊形內角與外角．
專題： 計算題．
分析： 利用多邊形的外角和以及多邊形的內角和定理即可解決問題．
解答： 解：∵多邊形的外角和是360度，多邊形的內角和是外角和的2倍，
則內角和是720度，
720÷180+2=6，
∴這個多邊形是六邊形．
故答案為：6．
點評： 本題主要考查了多邊形的內角和定理與外角和定理，熟練掌握定理是解題的關鍵．
　
11．如圖點P是∠BAC的平分線AD上一點，PE⊥AC于點E．已知PE=3，則點P到AB的距離是　3　．
 

考點： 角平分線的性質．
專題： 計算題．
分析： 根據角平分線的性質可得，點P到AB的距離=PE=3．
解答： 解：∵P是∠BAC的平分線AD上一點，PE⊥AC于點E，PE=3，
∴點P到AB的距離=PE=3．
故答案為：3．
點評： 此題主要考查角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．
　
12．如圖，已知AB=AD，需要條件（用圖中的字母表示）　BC=DC　可得△ABC≌△ADC，根據是　SSS　．
 

考點： 全等三角形的判定．
分析： 添加條件BC=DC，可直接利用SSS定理判定△ABC≌△ADC．
解答： 解：添加條件BC=DC，
∵在△ABC和△ADC中 ，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
故答案為：BC=DC；SSS．
點評： 本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
　
13．如圖，直線a、b、c表示三條互相交叉的公路，現要建一個貨物中轉站．要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有　4　處．
 

考點： 三角形的內切圓與內心；直線與圓的位置關系．
專題： 應用題．
分析： 由三角形內角平分線的交點到三角形三邊的距離相等，可得三角形內角平分線的交點滿足條件；然后利用角平分線的性質，可證得三角形兩條外角平分線的交點到其三邊的距離也相等，這樣的點有3個，可得可供選擇的地址有4個．
解答： 解：∵△ABC內角平分線的交點到三角形三邊的距離相等，
∴△ABC內角平分線的交點滿足條件；
如圖：點P是△ABC兩條外角平分線的交點，
過點P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，
∴PE=PF，PF=PD，
∴PE=PF=PD，
∴點P到△ABC的三邊的距離相等，
∴△ABC兩條外角平分線的交點到其三邊的距離也相等，滿足這條件的點有3個；
綜上，到三條公路的距離相等的點有4個，
∴可供選擇的地址有4個．
故填4．
 
點評： 此題考查了角平分線的性質．注意掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等，注意數形結合思想的應用，小心別漏解．
　
14．如圖，AE=AD，∠B=∠C，BE=6，AD=4，則AC=　10　．
 

考點： 全等三角形的判定．
分析： 先根據已知證得△ABD≌△ACE，得出AB=AC．進而推出BE=DC，那么就可以求得AC=10．
解答： 解：∵AE=AD，∠B=∠C，∠A=∠A
∴△ABD≌△ACE
∴AB=AC
∵AE=AD
∴BE=DC
∴AC=AD+BE=10．
故填10．
點評： 此題主要考查全等三角形的判定，常用的判定有SAS，AAS，SSS，HL等．做題時要結合圖形得到答案．
　
15．如圖，已知△ABC的∠ABC和∠ACB的角平分線交于P，∠A=50°，則∠P=　115°　．
 

考點： 三角形內角和定理．
分析： 根據三角形內角和定理求出∠ABC+∠ACB=180°?∠A=130°，根據角平分線定義得出∠PBC= ∠ABC，∠PCB= ∠ACB，求出∠PBC+∠PCB=65°，代入∠P=180°?（∠PBC+∠PCB）求出即可．
解答： 解：∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A=130°，
∵∠ABC和∠ACB的角平分線交于P，
∴∠PBC= ∠ABC，∠PCB= ∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB= ×130°=65°，
∴∠P=180°?（∠PBC+∠PCB）=115°，
故答案為：115°．
點評： 本題考查了三角形的內角和定理和角平分線定義的應用，注意：三角形的內角和等于180°，題目比較好，難度適中．
　
16．如圖，將紙片△ABC沿DE折疊，點A落在點P處，已知∠1+∠2=100°，則∠A的大小等于　50　度．
 

考點： 三角形內角和定理；翻折變換（折疊問題）．
分析： 根據已知求出∠ADP+∠AEP=360°?（∠1+∠2）=260°，根據折疊求出∠ADE+∠AED= ×260°=130°，根據三角形內角和定理求出即可．
解答： 解：∵∠1+∠2=100°，
∴∠ADP+∠AEP=360°?（∠1+∠2）=260°，
∵將紙片△ABC沿DE折疊，點A落在點P處，
∴∠ADE= ∠ADP，∠AED= ∠AEP，
∴∠ADE+∠AED= ×260°=130°，
∴∠A=180°?（∠ADE+∠AED）=50°，
故答案為：50．
點評： 本題考查了三角形的內角和定理和折疊的性質的應用，注意：三角形的內角和等于180°，題目比較好，難度適中．
　
三、解答題
17．用一條長為18cm細繩圍成一個等腰三角形．
（1）如果腰長是底邊的2倍，那么各邊的長是多少？
（2）能圍成有一邊的長為4cm的等腰三角形嗎？為什么？

考點： 等腰三角形的性質；三角形三邊關系．
專題： 分類討論．
分析： （1）設底邊長為xcm，則腰長為2xcm，根據周長公式列一元一次方程，解方程即可求得各邊的長；
（2）題中沒有指明4cm所在邊是底還是腰，故應該分情況進行分析，注意利用三角形三邊關系進行檢驗．
解答： 解：（1）設底邊長為xcm，
∵腰長是底邊的2倍，
∴腰長為2xcm，
∴2x+2x+x=18，解得，x= cm，
∴2x=2× = cm，
∴各邊長為： cm， cm， cm．

（2）①當4cm為底時，腰長= =7cm；
當4cm為腰時，底邊=18?4?4=10cm，
∵4+4＜10，
∴不能構成三角形，故舍去；
∴能構成有一邊長為4cm的等腰三角形，另兩邊長為7cm，7cm．
點評： 本題考查的是等腰三角形的性質及三角形的三邊關系，在解答此類題目時要注意分類討論，不要漏解．
　
18．如圖，已知在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC邊上的高，求∠DBC的度數．
 

考點： 三角形內角和定理．
專題： 數形結合．
分析： 根據三角形的內角和定理與∠C=∠ABC=2∠A，即可求得△ABC三個內角的度數，再根據直角三角形的兩個銳角互余求得∠DBC的度數．
解答： 解：∵∠C=∠ABC=2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°，
∴∠A=36°．
則∠C=∠ABC=2∠A=72°．
又BD是AC邊上的高，
則∠DBC=90°?∠C=18°．
點評： 此題主要是三角形內角和定理的運用．
三角形的內角和是180°．
　
19．如圖，AB=AC，BD=CD．求證：∠B=∠C．
 

考點： 全等三角形的判定與性質．
專題： 證明題．
分析： 連接AD，根據SSS推出△ADC≌△ADB，根據全等三角形的性質得出即可．
解答： 證明：連接AD，
 
∵在△ADC和△ADB中
 
∴△ADC≌△ADB（SSS），
∴∠B=∠C．
點評： 本題考查了全等三角形的性質和判定的應用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的對應邊相等，對應角相等．
　
20．如圖，AD=AE，∠EAB=∠DAC，∠B=∠C．求證：AB=AC．
 

考點： 全等三角形的判定與性質．
專題： 證明題．
分析： 求出∠EAC=∠DAB，根據AAS推出△EAC≌△DAB，根據全等三角形的性質推出即可．
解答： 證明：∵∠EAB=∠DAC，
∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，
∴∠EAC=∠DAB，
在△EAC和△DAB中
 
∴△EAC≌△DAB（AAS），
∴AB=AC．
點評： 本題考查了全等三角形的性質和判定的應用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的對應邊相等，對應角相等．
　
四、解答題
21．如圖，點B、F、C、E在一條直線上，AB∥ED，AC∥FD，AB=DE．求證：FB=CE．
 

考點： 全等三角形的判定與性質．
專題： 證明題．
分析： 根據平行線的性質求出∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，根據AAS證出△BAC≌△EDF，推出BC=EF即可．
解答： 證明：∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，
在△BAC和△EDF中
 
∴△BAC≌△EDF（AAS），
∴BC=EF，
∴BC?FC=EF?FC，
∴FB=CE．
點評： 本題考查了全等三角形的性質和判定，平行線的性質的應用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的對應邊相等，對應角相等．
　
22．如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足為E、F，求證：EB=FC．
 

考點： 角平分線的性質；全等三角形的判定與性質．
專題： 證明題．
分析： 首先由角平分線的性質可得DE=DF，又有BD=CD，可證Rt△BED≌Rt△DFC（HL），即可得出EB=FC．
解答： 證明：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB、DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BED和Rt△DFC中，
 ，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴EB=FC．
點評： 此題主要考查角平分線的性質和全等三角形的判定和性質，難度不大．
　
23．如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，BF=AC，FD=CD．求證：AC⊥BE．
 

考點： 全等三角形的判定與性質．
專題： 證明題．
分析： 根據HL證Rt△BDF≌Rt△ADC，推出∠FBD=∠DAC，根據∠BDF=90°求出∠DBF+∠BFD=90°，推出∠DAC+∠AFE=90°，求出∠AEF=90°即可．
解答： 證明：∵AD⊥BC，
∴∠BDF=∠ADC=90°，
在Rt△BDF和Rt△ADC中
 
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），
∴∠FBD=∠DAC，
∵∠BDF=90°，
∴∠DBF+∠BFD=90°，
∵∠BFD=∠AFE，
∴∠DAC+∠AFE=90°，
∴∠AEF=180°?90°=90°，
∴AC⊥BE．
點評： 本題考查了全等三角形的性質和判定，三角形內角和定理的應用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的對應邊相等，對應角相等．
　
五、解答題
24．如圖，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，且BD=CD．求證：
（1）BE=CF；
（2）∠ABD+∠ACD=180°．
 

考點： 全等三角形的判定與性質；角平分線的性質．
專題： 證明題．
分析： （1）根據角平分線性質可得DE=DF，可證△BDE≌△CDF，可得BE=CF；
（2）由△BDE≌△CDF可得∠ACD=∠DBE，即可求得∠ABD+∠ACD=180°．
解答： 解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，
∴DE=DF，
在RT△BDE和RT△CDF中，
 ，
∴RT△BDE≌RT△CDF（HL），
∴BE=CF；
（2）∵RT△BDE≌RT△CDF，
∴∠ACD=∠DBE，
∵∠DBE+∠ABD=180°，
∴∠ABD+∠ACD=180°．
點評： 本題考查了直角三角形全等的判定，考查了全等三角形對應角、對應邊相等的性質，本題中求證RT△BDE≌RT△CDF是解題的關鍵．
　
25．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
（2）當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，求證：DE=AD?BE；
（3）當直線MN繞點C旋轉到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明．
 

考點： 旋轉的性質；全等三角形的判定與性質．
專題： 探究型．
分析： （1）由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，則∠ADC=∠CEB=90°，根據等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD．
（2）根據等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CE?CD=AD?BE．
（3）DE、AD、BE具有的等量關系為：DE=BE?AD．證明的方法與（2）相同．
解答： （1）證明：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE．
在△ADC和△CEB中， ，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=DC+CE=BE+AD；

（2）證明：在△ADC和△CEB中， ，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CE?CD=AD?BE；

（3）DE=BE?AD．
易證得△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CD?CE=BE?AD．
點評： 本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等，對應點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心的連線段所夾的角等于旋轉角．也考查了直角三角形全等的判定與性質．
　
26．如圖，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，點D為AB的中點．
（1）如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．
①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1s后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；
②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？
（2）若點Q以②中的運動速度從點C出發，點P以原來的運動速度從點B同時出發，都逆時針沿△ABC三邊運動，求經過多長時間點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？
 

考點： 全等三角形的判定與性質；一元一次方程的應用．
專題： 幾何圖形問題．
分析： （1）①根據時間和速度分別求得兩個三角形中的邊的長，根據SAS判定兩個三角形全等．
②根據全等三角形應滿足的條件探求邊之間的關系，再根據路程=速度×時間公式，先求得點P運動的時間，再求得點Q的運動速度；
（2）根據題意結合圖形分析發現：由于點Q的速度快，且在點P的前邊，所以要想第一次相遇，則應該比點P多走等腰三角形的兩個腰長．
解答： 解：（1）①∵t=1s，
∴BP=CQ=3×1=3cm，
∵AB=10cm，點D為AB的中點，
∴BD=5cm．
又∵PC=BC?BP，BC=8cm，
∴PC=8?3=5cm，
∴PC=BD．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD和△CQP中，
 
∴△BPD≌△CQP（SAS）．
②∵vP≠vQ，
∴BP≠CQ，
若△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，
則BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，
∴點P，點Q運動的時間 s，
∴ cm/s；

（2）設經過x秒后點P與點Q第一次相遇，
由題意，得 x=3x+2×10，
解得 ．
∴點P共運動了 ×3=80cm．
△ABC周長為：10+10+8=28cm，
若是運動了三圈即為：28×3=84cm，
∵84?80=4cm＜AB的長度，
∴點P、點Q在AB邊上相遇，
∴經過 s點P與點Q第一次在邊AB上相遇．
點評： 此題主要是運用了路程=速度×時間的公式．熟練運用全等三角形的判定和性質，能夠分析出追及相遇的問題中的路程關系．