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湖北省武漢市江岸區2012-2013學年八年級（下）期中數學試卷
一、選一選，比比誰細心（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．（3分）在 、 、 、 、 中分式的個數有（　　）
　A．1個B．2個C．3個D．4個

考點：分式的定義．.
分析：判斷分式的依據是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．
解答：解：在 、 、 中的分母中均不含有字母，因此它們是整式，而不是分式．
在 、 分母中含有字母，因此是分式．
故選B．
點評：本題主要考查分式的定義，注意π不是字母，是常數，所以 不是分式，是整式．
　
2．（3分）下列關系式中，哪個等式表示y是x的反比例函數（　　）
　A． B． C． D．

考點：反比例函數的定義．.
分析：根據反比例函數定義，形如y= （k≠0），直接選取答案．
解答：解：根據反比例函數的定義， 是反比例函數．
故選D．
點評：本題主要考查反比例函數的定義，熟記定義是解本題的關鍵．
　
3．（3分）人體中成熟紅細胞的平均直徑為0.0000077，用科學記數法表示為（　�。�
　A．7.7×10?5B．77×10?6C．77×10_5D．7.7×10?6

考點：科學記數法—表示較小的數．.
專題：．
分析：科學記數法就是將一個數字表示成（a×10的n次冪的形式），其中1≤a＜10，n表示整數．n為整數位數減1，即從左邊第一位開始，在首位非零的后面加上小數點，再乘以10的n次冪．此題n＜0，n=?6．
解答：解：0.000 007 7=7.7×10?6．
故選D．
點評：用科學記數法表示一個數的方法是
（1）確定a：a是只有一位整數的數；
（2）確定n：當原數的絕對值≥10時，n為正整數，n等于原數的整數位數減1；當原數的絕對值＜1時，n為負整數，n的絕對值等于原數中左起第一個非零數前零的個數（含整數位數上的零）．
　
4．（3分）分式 有意義的條件是（　　）
　A．x≠0B．x≠2C．x≠?2且x≠0D．x≠?2

考點：分式有意義的條件．.
分析：分母為零，分式無意義；分母不為零，分式有意義．
解答：解：根據題意得：x+2≠0，
解得：x≠?2．
故選D．
點評：考查了分式有意義的條件，從以下三個方面透徹理解分式的概念：
（1）分式無意義⇔分母為零；
（2）分式有意義⇔分母不為零；
（3）分式值為零⇔分子為零且分母不為零．
　
5．（3分）若雙曲線 過點（2，1），則其一定過下列點（　　）
　A．（1，3）B．（1，1）C．（4， ）D．（?1，2）

考點：反比例函數圖象上點的坐標特征．.
分析：首先根據反比例函數所經過的點得到k?1的值，再根據反比例函數圖象上點的坐標特點確定答案．
解答：解：∵雙曲線 過點（2，1），
∴k?1=2×1，
解得：k?1=2，
A、1×3=3，故圖象不經過（1，3）點；
B、1×1=1，故圖象不經過（1，1）點；
C、4× =2，圖象一定經過（4， ）點；
D、?1×2=2，圖象一不經過（?1，2）點；
故選：C．
點評：此題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy=k．
　
6．（3分）（2012•南充）矩形的長為x，寬為y，面積為9，則y與x之間的函數關系式用圖象表示大致為（　　）
　A． B． C． D．

考點：反比例函數的圖象；反比例函數的應用．.
分析：根據矩形的面積得到y與x之間的函數關系式，根據x的范圍以及函數類型即可作出判斷．
解答：解：矩形的長為x，寬為y，面積為9，則y與x之間的函數關系式是：y= （x＞0）．
是反比例函數，且圖象只在第一象限．
故選C．
點評：本題考查了反比例函數的圖象，注意x的取值范圍x＞0，容易出現的錯誤是忽視取值范圍，選擇B．
　
7．（3分）一旗桿離地面6處折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部8處，則旗桿折斷前的高度為（　　）

　A．10B．12C．14D．16

考點：勾股定理的應用．.
分析：在Rt△ABC中由勾股定理可以求出AC的值，而旗桿的高度就等于AB+AC，求出其值即可．
解答：解：在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，由勾股定理，得
AC= =10，
故旗桿的高度為：AC+AB=10+6=16．
故選D．

點評：本題考查了勾股定理在解實際問題中的運用，弄清勾股定理存在的條件是重點，解答時分析求出文字語言的含義是關鍵．
　
8．（3分）（2013•清遠模擬）某工廠計劃x天內生產120件零件，由于采用新技術，每天增加生產3件，因此提前2天完成計劃，列方程為（　�。�
　A． B． C． D．

考點：由實際問題抽象出分式方程．.
專題：．
分析：關鍵描述語為：“每天增加生產3件”；等量關系為：原計劃的工效=實際的工效?3．
解答：解：原計劃每天能生產零件 件，采用新技術后提前兩天即（x?2）天完成，所以每天能生產 件，
根據相等關系可列出方程 ．故選D．
點評：找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．
　
9．（3分）△ABC中，AB=13c，AC=15c，高AD=12，則BC的長為（　�。�
　A．14B．4C．14或4D．以上都不對

考點：勾股定理．.
專題：分類討論．
分析：分兩種情況討論：銳角三角形和鈍角三角形，根據勾股定理求得BD，CD，再由圖形求出BC，在銳角三角形中，BC=BD+CD，在鈍角三角形中，BC=CD?BD．
解答：解：（1）如圖，銳角△ABC中，AB=13，AC=15，BC邊上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得
BD2=AB2?AD2=132?122=25，
則BD=5，
在Rt△ABD中AC=15，AD=12，由勾股定理得
CD2=AC2?AD2=152?122=81，
則CD=9，
故BC的長為BD+DC=9+5=14；
（2）鈍角△ABC中，AB=13，AC=15，BC邊上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得
BD2=AB2?AD2=132?122=25，
則BD=5，
在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得
CD2=AC2?AD2=152?122=81，
則CD=9，
故BC的長為DC?BD=9?5=4．
故選C．


點評：本題考查了勾股定理，把三角形邊的問題轉化到直角三角形中用勾股定理解答．
　
10．（3分）如圖，若點是x軸正半軸上的任意一點，過點作PQ∥y軸，分別交函數 （x＞0）和 （x＞0）的圖象于點P和Q，連接OP、OQ，則下列結論正確的個數有（　�。﹤�．
①∠POQ不可能等于90°
②
③這兩個函數的圖象一定關于x軸對稱
④△POQ的面積是 ．

　A．1B．2C．3D．4

考點：反比例函數綜合題．.
分析：根據反比例函數的性質，xy=k，以及△POQ的面積= O•PQ分別進行判斷即可得出答案．
解答：解：①．∵P點坐標不知道，當P=Q時，∠POQ可能等于90°，故錯誤；
②．根據圖形可得：k1＞0，k2＜0，而P，Q為線段一定為正值，故 ，故錯誤；
③．根據k1，k2的值不確定，得出這兩個函數的圖象不一定關于x軸對稱，故錯誤；
④．∵k1=P•O，k2=Q•O，△POQ的面積= O•PQ= O（P+Q）= O•P+ O•Q，
∴△POQ的面積是 （k1+k2），故正確．
∴正確的只有④一個，
故選：A．
點評：此題主要考查了反比例函數的綜合應用，根據反比例函數的性質得出k1=P•O，k2=Q•O是解題關鍵．
　
二、填一填，看看誰仔細（本大題共6小題，每小題3分，共18分，請將你的答案寫在橫線處）
11．（3分）寫出一個圖象與直線y=x有兩個交點的反比例函數的解析式　y= �。�

考點：反比例函數與一次函數的交點問題．.
專題：開放型．
分析：由于y=x經過第一、三象限，所以只有寫出一個分布在第一、三象限的反比例函數即可．
解答：解：∵y=x經過第一、三象限，
∴圖象分布在第一、三象限的反比例函數圖象與直線y=x有兩個交點，
∴滿足條件的反比例函數可為y= ．
故答案為y= ．
點評：本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：反比例函數與一次函數圖象的交點坐標滿足兩函數解析式．
　
12．（3分）計算3a?2b•2ab?2的結果為　 �。�

考點：負整數指數冪．.
分析：按照負整數指數冪的運算法則求解即可．
解答：解：原式= • = ．
故答案為： ．
點評：本題考查了負整數指數冪的運算，解答本題的關鍵是掌握負整數指數冪的運算法則．
　
13．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，BC=10，則AB的長為　 �。�

考點：等腰直角三角形．.
分析：根據已知條件易推知Rt△ABC是等腰直角三角形，則AC=BC，所以根據勾股定理來求線段AB的長度即可．
解答：解：如圖，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，
∴∠B=∠A=45°，
∴AC=BC=10，
∵AB= = =10 ．
故答案是：10 ．

點評：本題考查了等腰直角三角形的判定與性質，以及勾股定理．
　
14．（3分）反比例函數y= 的圖象在二、四象限，則k的取值范圍是　k＜?3�。�

考點：反比例函數的性質．.
分析：圖象在二、四象限，則反比例系數小于0，即可求得k的范圍．
解答：解：根據題意得：k+3＜0，
解得：k＜?3，
故答案是：k＜?3．
點評：本題考查了反比例函數的性質，理解性質是關鍵．
　
15．（3分）已知 ，則 =　 　．

考點：完全平方公式．.
分析：先把已知等式兩邊平方，然后把加號轉變為減號，再求平方根即可．
解答：解：∵ ，
∴（ ）2=9，
∴（ ）2+4x• =9，
∴（ ）2=5，
∴ =± ，
故答案為：± ．
點評：本題考查了完全平方公式，解題的關鍵是熟練掌握完全平方公式中兩數和的平方與兩數差的平方的關系．理解最簡二次根式和平方根的定義．
　
16．（3分）（2012•日照）如圖，點A在雙曲線y= 上，過A作AC⊥x軸，垂足為C，OA的垂直平分線交OC于點B，當OA=4時，則△ABC周長為　 　．

考點：反比例函數綜合題．.
專題：壓軸題．
分析：根據線段垂直平分線的性質可知AB=OB，由此推出△ABC的周長=OC+AC，設OC=a，AC=b，根據勾股定理和函數解析式即可得到關于a、b的方程組 ，解之即可求出△ABC的周長．
解答：解：設A（a，b），則OC=a，AC=b．
∵點A在雙曲線y= 上，
∴b= ，即ab=6；
∵OA的垂直平分線交OC于B，
∴AB=OB，
∴△ABC的周長=OC+AC，
則： ，
解得a+b=2 ，
即△ABC的周長=OC+AC=2 ．
故答案是：2 ．
點評：本題考查反比例函數圖象性質和線段中垂線性質，以及勾股定理的綜合應用，關鍵是一個轉換思想，即把求△ABC的周長轉換成求OC+AC，即可解決問題．
　
三、解一解，試試誰更棒（本大題共7小題，共72分）
17．（14分）（1）計算：
（2）解方程： ．

考點：解分式方程；實數的運算；零指數冪；負整數指數冪．.
專題：．
分析：（1）原式第一項利用負指數冪法則計算，第二項利用負數的絕對值等于它的相反數化簡，第三項利用零指數冪法則計算，最后一項利用平方根的定義化簡，即可得到結果；
（2）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．
解答：（1）解：原式=2+3+1+6=12；
（2）解：變形： ? =1，
去分母：x?5=2x?5，
解得：x=0，
經檢驗x=0是分式方程的解．
點評：此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．
　
18．（8分）先化簡，再求值： ，其中x=3．

考點：分式的化簡求值．.
分析：首先對括號內的分式進行同分相減，然后進行運算即可．
解答：解：原式= •
= •
=2x+4，
當x=2時，原式=4+4=8．x=3時，原式=10．
點評：解答此題的關鍵是把分式化到最簡，然后代值計算．
　
19．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=6，BC=8，
（1）求AB的長；
（2）求CD的長．

考點：勾股定理．.
分析：（1）用勾股定理求出斜邊AB的長度；
（2）用面積就可以求出斜邊上的高．
解答：解：（1）在Rt△ABC中
由勾股定理得：AB= =10；

（2）由面積公式得：S△ABC= AC•BC= AB•CD
∴CD=6×8÷2×2÷10=4.8．
點評：考查了勾股定理，利用勾股定理和直角三角形的面積相結合，求解斜邊上的高是解直角三角形的重要題型之一，也是中考的熱點．
　
20．（8分）如圖，正方形網格中的每個小正方形邊長都為1，每個小正方形的頂點叫格點，以格點為頂點分別按下列要求畫圖：
（1）畫一條線段N，使N= ；
（2）畫△ABC，三邊長分別為3， ， ．

考點：勾股定理．.
專題：作圖題；網格型．
分析：（1）因為正方形網格中的每個正方形邊長都是1，根據勾股定理可得，直角邊長為2和3的直角三角形的斜邊長是 ；
（2）直角邊長是1和2的直角三角形的斜邊長是 ，直角邊長是2和2的直角三角形的斜邊長是 ，與長是3的線段，使它們能首尾相接，可得所求三角形．
解答：解：（1）線段N就是所求；
（2）△ABC是所求．

點評：本題考查勾股定理在圖中的應用，正確確定（ ）2，（ ）2以及（ ）2分別是哪兩個正整數的平方和，作出這三條線段是關鍵．
　
21．（10分）（2012•襄陽）如圖，直線y=k1x+b與雙曲線y= 相交于A（1，2）、B（，?1）兩點．
（1）求直線和雙曲線的解析式；
（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）為雙曲線上的三點，且x1＜x2＜0＜x3，請直接寫出y1，y2，y3的大小關系式；
（3）觀察圖象，請直接寫出不等式k1x+b＞ 的解集．

考點：反比例函數與一次函數的交點問題．.
專題：．
分析：（1）將點A（1，2）代入雙曲線y= ，求出k2的值，將B（，?1）代入所得解析式求出的值，再用待定系數法求出k1和b的值，可得兩函數解析式；
（2）根據反比例函數的增減性在不同分支上進行研究；
（3）根據A、B點的橫坐標結合圖象進行解答．
解答：解：（1）∵雙曲線y= 經過點A（1，2），
∴k2=2，
∴雙曲線的解析式為：y= ．
∵點B（，?1）在雙曲線y= 上，
∴=?2，則B（?2，?1）．
由點A（1，2），B（?2，?1）在直線y=k1x+b上，
得 ，
解得 ，
∴直線的解析式為：y=x+1．

（2）∵在第三象限內y隨x的增大而減小，故y2＜y1＜0，
又∵y3是正數，故y3＞0，
∴y2＜y1＜y3．

（3）由圖可知x＞1或?2＜x＜0．
點評：本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，求出交點坐標是解題的關鍵一步．
　
22．（10分）（2012•南寧）南寧市某生態示范村種植基地計劃用90畝～120畝的土地種植一批葡萄，原計劃總產量要達到36萬斤．
（1）列出原計劃種植畝數y（畝）與平均每畝產量x（萬斤）之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）為了滿足市場需求，現決定改良葡萄品種．改良后平均每畝產量是原計劃的1.5倍，總產量比原計劃增加了9萬斤，種植畝數減少了20畝，原計劃和改良后的平均每畝產量各是多少萬斤？

考點：反比例函數的應用．.
分析：（1）直接根據畝產量、畝數及總產量之間的關系得到函數關系式即可；
（2）根據題意列出 后求解即可．
解答：解：（1）由題意知：xy=36，
故y= （ ≤x≤ ）
（2）根據題意得：
解得：x=0.3
經檢驗x=0.3是原方程的根．
1.5x=0.45
答：改良前畝產0.3萬斤，改良后畝產0.45萬斤．
點評：本題考查了反比例函數的應用，解題的關鍵是從復雜的實際問題中整理出反比例函數模型，并利用其解決實際問題．
　
23．（12分）如圖1，直線AB分別交坐標軸交于A（?1，0）、B（0，1）兩點，與反比例函數 （x＞0）的圖象交于點C（2，n）．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）如圖2，在y軸上取點D（0，3），點E為直線x=1上的一動點，則x軸上是否存在一點F，使D、B、F、E四點所圍成的四邊形周長最��？若存在，求出這個最小值及點E、F的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）如圖3，將直線y=?x向上平移，與坐標軸分別交于點P、Q，與 （x＞0）相交于點、N，若N=5P，求直線PQ的解析式．

考點：反比例函數綜合題．.
專題：綜合題．
分析：（1）先利用待定系數法確定直線AB的解析式為y=x+1，再把點C（2，n）代入y=x+1求出n，則C點坐標為（2，3），然后利用待定系數法確定反比例函數解析式；
（2）作B點關于x軸的對稱點B′，則B′（0，?1），連結CB′交直線x=1于E點，x交軸于F，根據D點與C點坐標得到點D與點C關于直線x=1對稱，則ED=EC，由B點關于x軸的對稱點B′得到FB=FB′，根據兩點之間線段最短得到此時四邊形BFED的周長為D、B、F、E四點所圍成的四邊形周長的最小值，然后根據兩點之間的距離公式計算出CB′=2 ，從而得到最小周長=2+2 ；再待定系數法求出直線CB′的解析式為y=2x?1，則把x=1或y=0分別代入y=2x?1可得到E點和F點坐標；
（3）過點、N分別作x軸的垂線，垂足分別為點H、Q，根據平行線分線段成比例定理得到OH：HG=P：N，而N=5P，所以HG=5OH，設點坐標為（t， ），則N（6t， ），設直線PQ的解析式為y=?x+p，然后點、N點坐標代入得到關于t與p的方程組，再解方程組即可．
解答：解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，
把（?1，0）、B（0，1）代入得 ，解得 ，
∴直線AB的解析式為y=x+1，
把點C（2，n）代入y=x+1得n=2+1=3，
∴C點坐標為（2，3），
把點C（2，3）代入y= 得k=2×3=6，
∴反比例函數解析式為y= ；

（2）存在．
作B點關于x軸的對稱點B′，則B′（0，?1），連結CB′交直線x=1于E點，x交軸于F，如圖2，
∵D（0，3），C（2，3），
∴點D與點C關于直線x=1對稱，
∴ED=EC，
∵B點關于x軸的對稱點B′，
∴FB=FB′，
∴此時D、B、F、E四點所圍成的四邊形周長最小，最小值=BD+BF+FE+EC=BD+B′C=2+ =2+2 ；
設直線CB′的解析式為y=x+n，
把C（2，3）、B′（0，?1）代入 ，解得 ，
∴直線CB′的解析式為y=2x?1，
當x=1時，則y=2?1=1；當y=0時，2x?1=0，解得x= ，
∴點E坐標為（1，1），點F坐標為（ ，0）；

（3）過點、N分別作x軸的垂線，垂足分別為點H、Q，如圖3，
∵OP∥H∥NG，
∴OH：HG=P：N，
而N=5P，
∴HG=5OH，
設點坐標為（t， ），則N（6t， ），
設直線PQ的解析式為y=?x+p，
∵（t， ），N（6t， ）在直線PQ上，
∴ ，解得 或 （舍去），
∴直線PQ的解析式為y=?x+7．

點評：本題考查了反比例函數的綜合題：掌握反比例函數圖象上點的坐標特征待定系數法求函數解析式和平行線分線段成比例定理；運用兩點之間線段最短解決最短路徑問題；熟練運用兩點間的距離公式計算線段的長．