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第六章 三角函數

一、基礎知識
定義1 角，一條射線繞著它的端點旋轉得到的圖形叫做角。若旋轉方向為逆時針方向，則角為正角，若旋轉方向為順時針方向，則角為負角，若不旋轉則為零角。角的大小是任意的。
定義2 角度制，把一周角360等分，每一等價為一度，弧度制：把等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圓心角的弧長為L，則其弧度數的絕對值α= ,其中r是圓的半徑。
定義3 三角函數，在直角坐標平面內，把角α的頂點放在原點，始邊與x軸的正半軸重合，在角的終邊上任意取一個不同于原點的點P，設它的坐標為（x,y），到原點的距離為r,則正弦函數sinα= ,余弦函數cosα= ,正切函數tanα= ，余切函數cotα= ，正割函數secα= ,余割函數cscα=
定理1 同角三角函數的基本關系式，倒數關系：tanα= ,sinα= ，cosα= ；商數關系：tanα= ；乘積關系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；平方關系：sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α.
定理2 誘導公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; （Ⅲ）sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; （Ⅳ）sin =cosα, cos =sinα, tan =cotα（奇變偶不變，符號看象限）。
定理3 正弦函數的性質，根據圖象可得y=sinx（x∈R）的性質如下。單調區間：在區間 上為增函數，在區間 上為減函數，最小正周期為2 . 奇偶數. 有界性：當且僅當x=2kx+ 時，y取最大值1，當且僅當x=3k - 時, y取最小值-1。對稱性：直線x=k + 均為其對稱軸，點（k , 0）均為其對稱中心，值域為[-1，1]。這里k∈Z.
定理4 余弦函數的性質，根據圖象可得y=cosx(x∈R)的性質。單調區間：在區間[2kπ, 2kπ+π]上單調遞減，在區間[2kπ-π, 2kπ]上單調遞增。最小正周期為2π。奇偶性：偶函數。對稱性：直線x=kπ均為其對稱軸，點 均為其對稱中心。有界性：當且僅當x=2kπ時，y取最大值1；當且僅當x=2kπ-π時，y取最小值-1。值域為[-1，1]。這里k∈Z.
定理5 正切函數的性質：由圖象知奇函數y=tanx(x kπ+ )在開區間(kπ- , kπ+ )上為增函數, 最小正周期為π，值域為（-∞，+∞），點（kπ，0），（kπ+ ，0）均為其對稱中心。
定理6 兩角和與差的基本關系式：cos(α β)=cosαcosβ sinαsinβ,sin(α β)=sinαcosβ cosαsinβ; tan(α β)=
定理7 和差化積與積化和差公式:
sinα+sinβ=2sin cos ,sinα-sinβ=2sin cos ,
cosα+cosβ=2cos cos , cosα-cosβ=-2sin sin ,
sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)],
cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=- [cos(α+β)-cos(α-β)].
定理8 倍角公式:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,

tan2α=
定理9 半角公式:sin = ,cos = ,
tan = =
定理10 萬能公式: , ,

定理11 輔助角公式：如果a, b是實數且a2+b2 0，則取始邊在x軸正半軸，終邊經過點(a, b)的一個角為β，則sinβ= ,cosβ= ，對任意的角α.
asinα+bcosα= sin(α+β).
定理12 正弦定理：在任意△ABC中有 ，其中a, b, c分別是角A，B，C的對邊，R為△ABC外接圓半徑。
定理13 余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分別是角A，B，C的對邊。
定理14 圖象之間的關系：y=sinx的圖象經上下平移得y=sinx+k的圖象；經左右平移得y=sin(x+ )的圖象（相位變換）；縱坐標不變，橫坐標變為原來的 ，得到y=sin ( )的圖象（周期變換）；橫坐標不變，縱坐標變為原來的A倍，得到y=Asinx的圖象（振幅變換）；y=Asin( x+ )( >0)的圖象（周期變換）；橫坐標不變，縱坐標變為原來的A倍，得到y=Asinx的圖象（振幅變換）；y=Asin( x+ )( , >0)(A叫作振幅)的圖象向右平移 個單位得到y=Asin x的圖象。
定義4 函數y=sinx 的反函數叫反正弦函數，記作y=arcsinx(x∈[-1, 1])，函數y=cosx(x∈[0, π]) 的反函數叫反余弦函數，記作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函數y=tanx 的反函數叫反正切函數。記作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的反函數稱為反余切函數，記作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]).
定理15 三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{xx=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。方程cosx=a的解集是{xx=2kx arccosa, k∈Z}. 如果a∈R，方程tanx=a的解集是{xx=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式：arcsina+arccosa= ；arctana+arccota= .
定理16 若 ，則sinx二、方法與例題
1．結合圖象解題。
例1 求方程sinx=lgx的解的個數。
【解】在同一坐標系內畫出函數y=sinx與y=lgx的圖象（見圖），由圖象可知兩者有6個交點，故方程有6個解。
2．三角函數性質的應用。
例2 設x∈(0, π), 試比較cos(sinx)與sin(cosx)的大小。
【解】 若 ，則cosx≤1且cosx>-1，所以cos ，
所以sin(cosx) ≤0,又00，
所以cos(sinx)>sin(cosx).
若 ，則因為sinx+cosx= (sinxcos +sin cosx)= sin(x+ )≤ < ，
所以0所以cos(sinx)>cos( -cosx)=sin(cosx).
綜上，當x∈(0,π)時，總有cos(sinx)例3 已知α，β為銳角，且x?（α+β- ）>0，求證：
【證明】 若α+β> ，則x>0，由α> -β>0得cosα所以0< <1，又sinα>sin( -β)=cosβ, 所以0< <1，
所以
若α+β< ，則x<0，由0<α< -β< 得cosα>cos( -β)=sinβ>0,
所以 >1。又01，
所以 ，得證。
注：以上兩例用到了三角函數的單調性和有界性及輔助角公式，值得注意的是角的討論。
3．最小正周期的確定。
例4 求函數y=sin(2cosx)的最小正周期。
【解】 首先，T=2π是函數的周期（事實上，因為cos(-x)=cosx，所以cox=cosx）；其次，當且僅當x=kπ+ 時，y=0（因為2cosx≤2<π）,
所以若最小正周期為T0，則T0=mπ, m∈N+，又sin(2cos0)=sin2 sin(2cosπ)，所以T0=2π。
4．三角最值問題。
例5 已知函數y=sinx+ ，求函數的最大值與最小值。
【解法一】 令sinx= ,
則有y=
因為 ，所以 ，
所以 ≤1，
所以當 ，即x=2kπ- (k∈Z)時，ymin=0，

當 ，即x=2kπ+ (k∈Z)時，ymax=2.
【解法二】 因為y=sinx+ ,
=2（因為(a+b)2≤2(a2+b2)），
且sinx≤1≤ ，所以0≤sinx+ ≤2，
所以當 =sinx，即x=2kπ+ (k∈Z)時, ymax=2，
當 =-sinx，即x=2kπ- (k∈Z)時, ymin=0。
例6 設0< <π，求sin 的最大值。
【解】因為0< <π，所以 ，所以sin >0, cos >0.
所以sin （1+cos ）=2sin ?cos2 = ≤ =

當且僅當2sin2 =cos2 , 即tan = , =2arctan 時，sin (1+cos )取得最大值 。
例7 若A，B，C為△ABC三個內角，試求sinA+sinB+sinC的最大值。
【解】 因為sinA+sinB=2sin cos , ①
sinC+sin , ②
又因為 ，③
由①，②，③得sinA+sinB+sinC+sin ≤4sin ,
所以sinA+sinB+sinC≤3sin = ,
當A=B=C= 時，（sinA+sinB+sinC）max= .
注：三角函數的有界性、sinx≤1、cosx≤1、和差化積與積化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函數的單調性等是解三角最值的常用手段。
5．換元法的使用。
例8 求 的值域。
【解】 設t=sinx+cosx=
因為
所以
又因為t2=1+2sinxcosx,
所以sinxcosx= ，所以 ，
所以
因為t -1，所以 ，所以y -1.
所以函數值域為

例9 已知a0=1, an= (n∈N+)，求證：an> .
【證明】 由題設an>0，令an=tanan, an∈ ，則
an=
因為 ，an∈ ，所以an= ，所以an=
又因為a0=tana1=1，所以a0= ，所以 ? 。
又因為當0x，所以
注：換元法的關鍵是保持換元前后變量取值范圍的一致性。
另外當x∈ 時，有tanx>x>sinx，這是個熟知的結論，暫時不證明，學完導數后，證明是很容易的。
6．圖象變換：y=sinx(x∈R)與y=Asin( x+ )(A, , >0).
由y=sinx的圖象向左平移 個單位，然后保持橫坐標不變，縱坐標變為原來的A倍，然后再保持縱坐標不變，橫坐標變為原來的 ，得到y=Asin( x+ )的圖象；也可以由y=sinx的圖象先保持橫坐標不變，縱坐標變為原來的A倍，再保持縱坐標不變，橫坐標變為原來的 ，最后向左平移 個單位，得到y=Asin( x+ )的圖象。
例10 例10 已知f(x)=sin( x+ )( >0, 0≤ ≤π)是R上的偶函數，其圖象關于點 對稱，且在區間 上是單調函數，求 和 的值。
【解】 由f(x)是偶函數，所以f(-x)=f(x)，所以sin( + )=sin(- x+ )，所以cos sinx=0，對任意x∈R成立。
又0≤ ≤π，解得 = ，
因為f(x)圖象關于 對稱，所以 =0。
取x=0，得 =0，所以sin
所以 (k∈Z)，即 = (2k+1) (k∈Z).
又 >0，取k=0時，此時f(x)=sin(2x+ )在[0， ]上是減函數；
取k=1時， =2，此時f(x)=sin(2x+ )在[0， ]上是減函數；
取k=2時， ≥ ，此時f(x)=sin( x+ )在[0， ]上不是單調函數，
綜上， = 或2。
7．三角公式的應用。
例11 已知sin(α-β)= ，sin(α+β)=- ，且α-β∈ ，α+β∈ ，求sin2α,cos2β的值。
【解】 因為α-β∈ ，所以cos(α-β)=-
又因為α+β∈ ，所以cos(α+β)=
所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)= ,
cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.
例12 已知△ABC的三個內角A，B，C成等差數列，且 ，試求 的值。
【解】 因為A=1200-C，所以cos =cos(600-C)，
又由于
= ，
所以 =0。
解得 或 。
又 >0，所以 。
例13 求證：tan20 +4cos70 .
【解】 tan20 +4cos70 = +4sin20





三、基礎訓練題
1．已知銳角x的終邊上一點A的坐標為(2sin3, -2cos3)，則x的弧度數為___________。
2．適合 -2cscx的角的集合為___________。
3．給出下列命題：（1）若α β，則sinα sinβ；（2）若sinα sinβ,則α β；（3）若sinα>0，則α為第一或第二象限角；（4）若α為第一或第二象限角，則sinα>0. 上述四個命題中，正確的命題有__________個。
4．已知sinx+cosx= (x∈(0, π))，則cotx=___________。
5．簡諧振動x1=Asin 和x2=Bsin 疊加后得到的合振動是x=___________。
6．已知3sinx-4cosx=5sin(x+ 1)=5sin(x- 2)=5cos(x+ 3)=5cos(x- 4)，則 1， 2， 3， 4分別是第________象限角。
7．滿足sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的銳角x共有________個。
8．已知 ，則 =___________。
9． =___________。
10．cot15 cos25 cot35 cot85 =___________。
11．已知α,β∈(0, π), tan , sin(α+β)= ，求cosβ的值。
12．已知函數f(x)= 在區間 上單調遞減，試求實數m的取值范圍。
四、高考水平訓練題
1．已知一扇形中心角是a,所在圓半徑為R，若其周長為定值c(c>0)，當扇形面積最大時，a=__________.
2. 函數f(x)=2sinx(sinx+cosx)的單調遞減區間是__________.
3. 函數 的值域為__________.
4. 方程 =0的實根個數為__________.
5. 若sina+cosa=tana, a ，則 __________a（填大小關系）.
6. (1+tan1 )(1+tan2 )…(1+tan44 )(1+tan45 )=__________.
7. 若08. =__________.
9. ?cos ?cos ?cos ?cos =__________.
10. cos271 +cos71 cos49 +cos249 =__________.
11. 解方程：sinx+2sin2x=3+sin3x.
12. 求滿足sin(x+sinx)=cos(x-cosx)的所有銳角x.
13. 已知f(x)= (kA 0, k∈Z, 且A∈R)，（1）試求f(x)的最大值和最小值；（2）若A>0, k=-1，求f(x)的單調區間；（3）試求最小正整數k，使得當x在任意兩個整數（包括整數本身）間變化時，函數f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。

五、聯賽一試水平訓練題（一）
1．若x, y∈R，則z=cosx2+cosy2-cosxy的取值范圍是____________.
2．已知圓x2+y2=k2至少蓋住函數f(x)= 的一個最大值點與一個最小值點，則實數k的取值范圍是____________.
3．f( )=5+8cos +4cos2 +cos3 的最小值為____________.
4．方程sinx+ cosx+a=0在（0，2π）內有相異兩實根α，β，則α+β=____________.
5．函數f(x)=tanx+cotx的單調遞增區間是____________.
6．設sina>0>cosa, 且sin >cos ，則 的取值范圍是____________.
7．方程tan5x+tan3x=0在[0，π]中有__________個解.
8．若x, y∈R, 則M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值為____________.
9．若0< < , m∈N+, 比較大小：(2m+1)sinm (1-sin )__________1-sin2m+1 .
10．cot70 +4cos70 =____________.
11. 在方程組 中消去x, y，求出關于a, b, c的關系式。
12．已知α，β，γ ，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，求tanαtanβtanγ的最小值。
13．關于x, y的方程組 有唯一一組解，且sinα, sinβ, sinγ互不相等，求sinα+sinβ+sinγ的值。
14．求滿足等式sinxy=sinx+siny的所有實數對（x, y）, x, y .
聯賽一試水平訓練題（二）
1．在平面直角坐標系中，函數f(x)=asinax+cosax(a>0)在一個最小正周期長的區間上的圖象與函數g(x)= 的圖象所圍成的封閉圖形的面積是__________.
2．若 ，則y=tan -tan +cos 的最大值是__________.
3．在△ABC中，記BC=a, CA=b, AB=c, 若9a2+9b2-19c2=0，則 =__________.
4．設f(x)=x2-πx, α=arcsin , β=arctan , γ=arccos , δ=arccot , 將f(α), f(β), f(γ), f(δ)從小到大排列為__________.
5．logsin1cos1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan1=d。將a, b, c, d從小到大排列為__________.
6．在銳角△ABC中，cosA=cosαsinβ, cosB=cosβsinγ, cosC=cosγsinα，則tanα?tanβ?tanγ=__________.
7．已知矩形的兩邊長分別為tan 和1+cos (0< <π)，且對任何x∈R, f(x)=sin ?x2+ ?x+cos ≥0，則此矩形面積的取值范圍是__________.
8．在銳角△ABC中，sinA+sinB+sinC的取值范圍是__________.
9．已知當x∈[0, 1]，不等式x2cos -x(1-x)+(1-x)2sin >0恒成立，則 的取值范圍是__________.
10．已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，則cos2x+ cos2y+ cos2z=__________.
11．已知a1, a2, …,an是n個實常數，考慮關于x的函數：f(x)=cos(a1+x)+ cos(a2+x) +…+ cos(an+x)。求證：若實數x1, x2滿足f(x1)=f(x2)=0，則存在整數m，使得x2-x1=mπ.
12．在△ABC中，已知 ，求證：此三角形中有一個內角為 。
13．求證：對任意自然數n, 均有sin1+sin2+…+sin(3n-1)+sin3n> .

六、聯賽二試水平訓練題
1．已知x>0, y>0, 且x+y<π，求證：w(w-1)sin(x+y)+w(sinx-siny)+siny>0①（w∈R）.
2. 已知a為銳角，n≥2, n∈N+，求證： ≥2n-2 +1.
3. 設x1, x2,…, xn,…, y1, y2,…, yn,…滿足x1=y1= , xn+1=xn+ , yn+1= ，求證：24．已知α，β，γ為銳角，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，求證； π<α+β+γ<π.
5．求實數a的取值范圍，使得對任意實數x和任意 ，恒有(x+3+2sin cos )2+(x+asin +asin )2≥
6. 設n, m都是正整數，并且n>m，求證：對一切x 都有2sinnx-cosnx≤3sinnx-cosnx.
7．在△ABC中，求sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC的最大值。
8．求的有的實數a, 使cosa, cos2a, cos4a, …, cos2na, …中的每一項均為負數。
9．已知 i ，tan 1tan 2…tan n=2 , n∈N+, 若對任意一組滿足上述條件的
1， 2，…， n都有cos 1+cos 2+…+cos n≤λ，求λ的最小值。

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