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全國各地高考文科數學試題分類匯編11：概率與統計

一、
1 ．（高考安徽（文））若某公司從五位大學畢業生甲、乙、丙、丁、戌中錄用三人,這五人被錄用的機會均等,則甲或乙被錄用的概率為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
2 ．（高考重慶卷（文））下圖是某公 司10個銷售店某月銷售某
產品數量(單位:臺)的莖葉圖,則數據落在區間[20,30)內的概率為（　　）
A．0.2B．0.4C．0.5D．0.6
【答案】B
3 ．（高考湖南（文））已 知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機取一點P,使△APB的最大邊是AB”發生的概率為 ,則 =____（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
4 ．（高考江西卷（文））集合A={2,3},B={1,2,3},從A,B中各取任意一個數,則這兩數之和等于4的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
5 ．（高考湖南（文））某工廠甲、乙、丙三個車間生產了同一種產品,數量分別為120件,80件,60件.為了解它們的產品質量是否存在顯著差異,用分層抽樣方法抽取了一個容量為n的樣本進行調查,其中從丙車間的產品中抽取了3件,則n=___（　　）
A．9B．10C．12D．13
【答案】D
6 ．（高考山東卷（文））將某選手的9個得分去掉1個最高分,去掉1個最低分,7個剩余分數的平均分為91,現場做的9個分數的莖葉圖后來有一個數據模糊,無法辨認,在圖中以 表示:

則7個剩余分數的方差為（　　）
A． B． C．36D．
【答案】B
7 ．（高考四川卷（文））某學校隨機抽取 個班,調查各班中有網上購物經歷的人數,所得數據的莖葉圖如圖所示.以組距為 將數據分組成 , ,, , 時,所作的頻率分布直方圖是
【答案】A
8 ．（高考課標Ⅰ卷（文））從 中任取 個不同的數,則取出的 個數之差的絕對值為 的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
9 ．（高考陜西卷（文））對一批產品的長度(單位: )進行抽樣檢測, 下圖喂檢測結果的頻率分布直方圖. 根據標準, 產品長度在區間[20,25)上的為一等品, 在區間[15,20)和區間[25,30)上的為二等品, 在區間[10,15)和[30,35)上的為三等品. 用頻率估計概率, 現從該批產品中隨機抽取一件, 則其為二等品的概率為（　　）
A．0.09B．0.20C．0.25D．0.45
【答案】D
10．（高考江西卷（文））總體編號為01,02,19,20的20個個體組成.
利用下面的隨機數表選取5個個體,選取方法是從隨機數表第1行的第5列
和第6列數字開始由左到右依次選取兩個數字,則選出來的第5個個體的編號為（　　）
A．08B．07C．02 D．01
【答案】D
11．（高考遼寧卷（文））某學校組織學生參加英語測試,成績
的頻率分布直方圖如圖,數據的分組一次為 , ,若低于60分的人數是15人,則該班的學生人數是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
12．四名同學根據各自的樣本數據研究變量 之間的相關關系,并求得回歸直線方程,分別得到以下四個結論: ① y與x負相關且 ; ② y與x負相關且 ;
③ y與x正相關且 ; ④ y與x正相關且 .
其中一定不正確的結論的序號是
A.①② B.②③ C.③④ D. ①④
【答案】D
13．已知 與 之間的幾組數據如下表:
12345 6
021334

假設根據上表數據所得線性回歸直線方程為 .若某同學根據上表中前兩組數據 和 求得的直線方程為 ,則以下結論正確的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
二、題
14．（高考浙江卷（文））從三男三女6名學生中任選2名(每名同學被選中的機會相等),則2名都是女同學的概率等于_________.
【答案】
15．（高考湖北卷（文））在區間 上隨機地取一個數x,若x滿足 的概率為 ,則 __________.
【答案】3
16．（高考福建卷（文））利用計算機產生 之間的均勻隨機數 ,則事件“ ”發生的概率為_______
【答案】
17．（高考重慶卷（文））若甲、乙、丙三人隨機地站成一排,則甲、乙兩人相鄰而站的概率為____________.
【答案】
18．（高考遼寧卷（文））為了考察某校各班參加課外書法小組的人數,在全校隨機抽取5個班級,把每個班級參加該小組的認為作為樣本數據.已知樣本平均數為7,樣本方差為4,且樣本數據互相不相同,則樣本數據中的最大值為____________.
【答案】10
19．（上海高考數學試題（文科））某學校高一年級男生人數占該年級學生人數的40%.在一次考試中,男、女生平均分數分別為75、80,則這次考試該年級學生平均分數為________.
【答案】78
20．（高考湖北卷（文））某學員在一次射擊測試中射靶10次,命中環數如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4
則(Ⅰ)平均命中環數為__________; (Ⅱ)命中環數的標準差為__________.
【答案】(Ⅰ)7 (Ⅱ)2
21．（高考課標Ⅱ卷（文））從1,2,3,4,5中任意取出兩個不同的數,其和為5的概率是________.
【答案】
22．（上海高考數學試題（文科））盒子中裝有編號為1,2,3,4,5,6,7的七個球,從中 任意取出兩個,則這兩個球的編號之積為偶數的概率是_______(結果用最簡分數表示).
【答案】
三、解答題
23．（高考江西卷（文））小波已游戲方式決定是去打球、唱歌還
是去下棋.游戲規則為以O為起點,再從A1,A2,A3,A4,A5,A6(如圖)這6個點
中任取兩點分別為終點得到兩個向量,記住這兩個向量的數量積為X,若X>0
就去打球,若X=0就去唱歌,若X<0就去下棋.
(1)寫出數量積X的所有可能取值；(2)分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率
【答案】解:(1) x 的所有可能取值為-2 ,-1 ,0, 1．
(2)數量積為-2的只有 一種
數量積為-1的有 , 六種
數量積為0的有 四種
數量積為1的有 四種
故所有可能的情況共有15種. 所以小波去下棋的概率為
因為去唱歌的概率為 ,所以小波不去唱歌的概率
24．（高考陜西卷（文））
有7位歌手(1至7號)參加一場歌唱比賽, 由500名大眾評委現場投票決定歌手名次, 根據年齡將大眾評委分為5組, 各組的人數如下:
組別ABCDE
人數5010015015050
(Ⅰ) 為了調查評委對7位歌手的支持狀況, 現用分層抽樣方法從各組中抽取若干評委, 其中從B組中抽取了6人. 請將其余各組抽取的人數填入下表.
組別ABCDE
人數5010015015050
抽取人數6
(Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若A, B兩組被抽到的評委中各有2人支持1號歌手, 現從這兩組被抽到的評委中分別任選1人, 求這2 人都支持1號歌手的概率.
【答案】解: (Ⅰ) 按相同的比例從不同的組中抽取人數.
從B組100人中抽取6人,即從50 人中抽取3人,從100人中抽取6人,從100人中抽取9人.
(Ⅱ) A組抽取的3人中有2人支持1號歌手,則從3人中任選1人,支持支持1號歌手的概率為 •
B組抽取的6人中有2人支持1號歌手,則從6人中任選1人,支持支持1號歌手的概率為 •
現從抽樣評委A組3人,B組6人中各自任選一人,則這2人都支持
1號歌手的概率 .
所以,從A,B兩組抽樣評委中,各自任選一人,則這2人都支持1號歌
手的概率為 .
25．（高考四川卷（文））
某算法的程序框圖如圖所示,其中輸入的變量 在 這
個整數中等可能隨機產生.
(Ⅰ)分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出 的值為 的概率 ;
(Ⅱ)甲、乙兩同學依據自己對程序框圖的理解,各自編寫程序重復運行n次后,統計記錄了輸出y的值為 的頻數.以下是甲、乙所作頻數統計表的部分數據.

當n=2100時,根據表中的數據,分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻率(用分數表示),并判斷兩位同學中哪一位所編寫程序符合算法要求的可能性較大.
【答案】解:(Ⅰ)變量x是在1,2,3,…,24這24個整數中等可能隨機產生的一個數,共有24種可能.
當 從 這12個數中產生時,輸出y的值為1,故P1=1/2；
當 從 這8個數中產生時,輸出y的值為2,故P2=1/3；
當 從 這4個數中產生時,輸出y的值為3,故P3=1/6.
所以輸出y的值為1的概率為1/2,輸出y的 值為2的概率為1/3,輸出y的值為3的概率為1/6.
(Ⅱ)當n=2100時,甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻率如下,
輸出y的值為1的頻率輸出y的值為2的頻率輸出y的值為3的頻率
甲

比較頻率趨勢與概率,可得乙同學所編寫程序符合算法要求的可能性較大.
26．（高考遼寧卷（文））現有6道題,其中4道甲類題,2道乙類題,張同學從中任取3道題解答.試求:
(I)所取的2道題都是甲 類題的概率; (II)所取的2道題不是同一類題的概率.
【答案】

27．（高考天津卷（文））某產品的三個質量指標分別為x, y, z, 用綜合指標S = x + y + z評價該產品的等級. 若S≤4, 則該產品為一等品. 先從一批該產品中, 隨機抽取10件產品作為樣本, 其質量指標列表如下:
產品編號A1A2A3A4A5
質量指標(x, y, z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)
產品編號A6A7A8A9A10
質量指標(x, y, z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)
(Ⅰ) 利用上表提供的樣本數據估計該批產品的一等品率;
(Ⅱ) 在該樣品的一等品中, 隨機抽取兩件產品,
(⒈) 用產品編號列出所有可能的結果;
(⒉) 設事件B為 “在取出的2件產品中, 每件產品的綜合指標S都等于4”, 求事件B發生的概率.
【答案】


28．（高考湖南（文））某人在如圖3所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點)處都種了一株相同品種的作物.根據歷年的種植經驗,一株該種作物的年收貨量 (單位:kg)與它的“相近”作物株數 之間的關系如下表所示:

這里,兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米.
(Ⅰ)完成下表,并求所種作物的平均年收獲量;

(Ⅱ)在所種作物中隨機選取一株,求它的年收獲量至少為48kg的概率.
【答案】解: (Ⅰ) 由圖知,三角形中共有15個格點,
與周圍格點的距離不超過1米的格點數都是1個的格點有2個,坐標分別為(4,0),(0,4).
與周圍格點的距離不超過1米的格點數都是2個的格點有4個,坐標分別為(0,0), (1,3), (2,2),(3,1).
與周圍格點的距離不超過1米的格點數都是3個的格點有6個,坐標分別為(1,0), (2,0), (3,0),(0,1,) ,(0,2),(0,3,).
與周圍格點的距離不超過1米的格點數都是4個的格點有3個,坐標分別為(1,1), (1,2), (2,1).如下表所示:
Y51484542
頻數2463
平均年收獲量 .
(Ⅱ)在15株中,年收獲量至少為48kg的作物共有2+4=6個.
所以,15株中任選一個,它的年收獲量至少為48k的概率P= .
29．（高考安徽（文））為調查甲、乙兩校高三年級學生某次聯考數學成績情況，用簡單隨機抽樣，從這兩校中各抽取30名高三年級學生，以他們的數學成績（百分制）作為樣本，樣本數據的莖葉圖如下： 甲 乙
7 4 5
5 3 3 2 5 3 3 8
5 5 4 3 3 3 1 0 0 6 0 6 9 1 1 2 2 3 3 5
8 6 6 2 2 1 1 0 0 7 0 0 2 2 2 3 3 6 6 9
7 5 4 4 2 8 1 1 5 5 8
2 0 9 0

（Ⅰ）若甲校高三年級每位學生被抽取的概率為0.05，求甲校高三年級學生總人數，并估計甲校高三年級這次聯考數學成績的及格率（60分及60分以上為及格）；
（Ⅱ）設甲、乙兩校高三年級學生這次聯考數學平均成績分別為 ，估計 的值.
【答案】解:(1) ，
(2) =
=

30．（高考課標Ⅱ卷（文））經銷商經銷某種農產品,在一個銷售季度內,每售出1t該產品獲利潤500元,未售出的產品,每1t虧損300元.根據歷史資料,得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直圖,如右圖所示.經銷商為下一個銷售季度購進了130t該農產品.以X(單位:t≤100≤X≤150)表示下一個銷售季度內的市場需求量,T(單位:元)表示下一個銷售季度內經銷該農產品的利潤.
(Ⅰ)將T表示為X的函數;
(Ⅱ)根據直方圖估計利潤T不少于57000元的概率.
【答案】

31．（高考廣東卷（文））從一批蘋果中,隨機抽取50個,其重量(單位:克)的頻數分布表如下:
分組(重量)
頻數(個)510
(1) 根據頻數分布表計算蘋果的重量在 的頻率;
(2) 用分層抽樣的方法從重量在 和 的蘋果中共抽取4個,其中重量在 的有幾個?
(3) 在(2)中抽出的4個蘋果中,任取2個,求重量在 和 中各有1個的概率.
【答案】(1)重量在 的頻率 ;
(2)若采用分層抽樣的方法從重量在 和 的蘋果中共抽取4個,則重量在 的個數 ;
(3)設在 中抽取的一個蘋果為 ,在 中抽取的三個蘋果分別為 ,從抽出的 個蘋果中,任取 個共有 種情況,其中符合“重量在 和 中各有一個”的情況共有 種;設“抽出的 個蘋果中,任取 個,求重量在 和 中各有一個”為事件 ,則事件 的概率 ;
32．（高考山東卷（文））某小組共有 五位同學,他們的身高(單位:米)以及體重指標(單位:千克/米2)，如下表所示:
ABCDE
身高1.691.731.751.791.82
體重指標19.225.118.523.320.9
(Ⅰ)從該小組身高低于1.80的同學中任選2人,求選到 的2人身高都在1.78以下的概率
(Ⅱ)從該小組同學中任選2人,求選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標都在[18.5,23.9)中的概率
【答案】


33．（高考北京卷（文））下圖是某市3月1日至14日的空氣質量指數趨勢圖,空氣質量指數小于100表示空氣質量優良,空氣質量指數大于200表示空氣重度污染,某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市,并停留2天.
(Ⅰ)求此人到達當日空氣質量優良的概率;
(Ⅱ)求此人在該市停留期間只有1天空氣
重度污染的概率;
(Ⅲ)由圖判斷從哪天開始連續三天的空氣
質量指數方差最大?(結論不要求證明)
【答案】解:(I)在3月1日至3月13日這
13天中,1日.2日.3日.7日.12日.13日共
6天的空氣質量優良,所以此人到達當日空氣質量優良的概率是 .
(II)根據題意,事件“此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染”等價于“此人到達該市的日期是4日,或5日,或7日,或8日”.所以此人在該市停留期間只有1天空氣質量重度污染的概率為 .
(III)從3月5日開始連續三天的空氣質量指數方差最大.
34．（高考福建卷（文））某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名,25周歲以下工人200名.為研究工人的日平均生產量是否與年齡有關.現采用分層抽樣 的方法,從中抽取了100名工人,先統計了他們某月的日平均生產件數,然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組,在將兩組工人的日平均生產件數分成5組: , , , , 分別加以統計,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)從樣本中日平均生產件數不足60件的工人中隨機抽取2人,求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的頻率.
(2)規定日平均生產件數不少于80件者為“生產能手”,請你根據已知條件完成 的列聯表,并判斷是否有 的把握認為“生產能手與工人所在的年齡組有關”?

附表:

【答案】解:(Ⅰ)由已知得,樣本中有 周歲以上組工人 名, 周歲以下組工人 名
所以,樣本中日平均生產件數不足 件的工人中, 周歲以上組工人有 (人),
記為 , , ; 周歲以下組工人有 (人),記為 ,
從中隨機抽取 名工人,所有可能的結果共有 種,他們是:
, , , , , , , , ,
其中,至少有名“ 周歲以下組”工人的可能結果共有 種,它們是:
, , , , , , .故所求的概率:
(Ⅱ)由頻率分布直方圖可知,在抽取的 名工人中,“ 周歲以上組”中的生產能手 (人),“ 周歲以下組”中的生產能手 (人),據此可得 列聯表如下:
生產能手非生產能手合計
周歲以上組
周歲以下組
合計
所以得:
因為 ,所以沒有 的把握認為“生產能手與工人所在的年齡組有關”
35．（高考大綱卷（文））甲、乙、丙三人進行羽毛球練習賽,其中兩人比賽,另一人當裁判,每局比賽結束時,負的一方在下一局當裁判,設各局中雙方獲勝的概率均為 各局比賽的結果都相互獨立,第 局甲當裁判.
(I)求第 局甲當裁判的概率;(II)求前 局中乙恰好當 次裁判概率.
【答案】(Ⅰ)記 表示事件“第2局結果為甲勝”, 表示事件“第3局甲參加比賽時,結果為甲負”,
A表示事件“第4局甲當裁判”. 則 . .
(Ⅱ)記 表示事件“第1局結果為乙勝”, 表示事件“第2局乙參加比賽時,結果為乙勝”,
表示事件“第3局乙參加比賽時,結果為乙勝”, B表示事件“前4局中恰好當1次裁判”.
則 .

.
36．（高考課標Ⅰ卷（文））(本小題滿分共12分)
為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為 藥, 藥)的療效,隨機地選取 位患者服用 藥, 位患者服用 藥,這 位患者服用一段時間后,記錄他們日平均增加的睡眠時間(單位: ),試驗的觀測結果如下:
服用 藥的 位患者日平均增加的睡眠時間:
0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2．5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用 藥的 位患者日平均增加的睡眠時間:
3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1．6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分別計算兩組數據的平均數,從計算結果看,哪種藥的療效更好?
(3)根據兩組數據完成下面莖葉圖,從莖葉圖看,哪種藥的療效更好?

【答案】(本小題滿分共12分)
(1)設A藥觀測數據的平均數為 ,B藥觀測數據的平均數為 ,又觀測結果可得
(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+3.0+3.1+3.2+3.5)=2.3,

由以上計算結果可得 > ,因此可看出A藥的療效更好
(2)由觀測結果可繪制如下莖葉圖:
A藥B藥
60.5 5 6 8 9
8 5 5 2 21.1 2 2 3 4 6 7 8 9
9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 2.1 4 5 6 7
5 2 1 03.2
從以上莖葉圖可以看出,A藥療效的試驗結果有的葉集中在莖2.3上,而B藥療效的試驗結果有 的葉集中在莖0,1上,由此可看出A藥的療效更好.
37．(本小題滿分13分,(Ⅰ)小問9分,(Ⅱ)、(Ⅲ)小問各2分)
從某居民區隨機抽取10個家庭,獲得第 個家庭的月收入 (單位:千元)與月儲蓄 (單位:千元)的數據資料,算得 , , , .
(Ⅰ)求家庭的月儲蓄 對月收入 的線性回歸方程 ;
(Ⅱ)判斷變量 與 之間是正相關還是負相關;
(Ⅲ)若該居民區某家庭月收入為7千元,預測該家庭的月儲蓄.
附:線性回歸方程 中, , ,
其中 , 為樣本平均值,線性回歸方程也可寫為 .