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【備考策略】
根據近幾年高考命題特點和規律，復習本專題時要注意以下幾方面：
1．全面掌握空間幾何體的概念及性質，特別是常見幾何體如正方體、長方體、棱柱、棱錐、球的概念和性質，這是進行計算和證明的基礎。
2．多面體畫圖、分析圖，用自己的語言描述圖，提高借助圖形分析問題的能力，培養空間觀念。
3．注重三視圖與直觀圖的相互轉化及等積轉化的思想。
4．特別關注空間三種角落計算問題以及涉及到探究點的位置的問題。
第一講 空間幾何體

【最新考綱透析】
1．認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構。
2．能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖。
3．會用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式。
4．會畫某些建筑物的三視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎上，尺寸、線條等不作嚴格要求）。
5．了解球、棱柱、棱錐的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公式）。

【核心要點突破】
要點考向1：空間幾何體的三視圖
考情聚焦：1．三視圖是新課標教材的新增內容，是高考中新的增加點及亮點。
2．常與表面積、體積計算綜合出現，多以選擇題或解答題的形式呈現，屬較容易的題。
考向鏈接：1．解答此類問題，首先由三視圖想象出原幾何體的形狀，并由相關數據得出幾何體中的量。
2．掌握三視圖是正確解決這類問題的關鍵，同時也體現了知識間的內在聯系，是高考的新動向。
例1：（2010?陜西高考理科?Ｔ7）若某空間幾何體的三視圖如圖所示，
則該幾何體的體積是（ ）
(A) (B) (C) 1 (D) 2
【命題立意】本題考查三視圖的概念及空間想象能力，屬中等題。
【思路點撥】三視圖 幾何體是直三棱柱 該幾何體 的體積
【規范解答】選C 由該幾何體的三視圖可知，該幾何體是直三棱柱，且棱柱的底面是兩直角邊長分別為 和1的直角三角形，棱柱的高為 ，所以該幾何體的體積
要點考向2：幾何體的表面積與體積
考情聚焦：1．幾何體的表面積與體積一直是高考的熱點內容，應引起重視。
2．多以選擇題、填空題的形式考查，有時也以解答題的形式考查，屬較容 易題。
考向鏈接：1．求幾何體的表面積及體積問題，可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關鍵所在。求三棱錐的體積，等積轉化法是常用的方法，轉換原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上。
2．求不規則幾何體的體積，常用分割或補形的思想，將不規則幾何體轉化為規則幾何體以易于求 解。
例2：（2010?上海高考文科?Ｔ20）如圖所示，為了制作一個圓柱形燈籠，先 要制作4個全等的矩形骨架，總計耗用9.6米鐵絲，再用 平方米塑料片制成圓柱的側面和下底面（不安裝上底面）.

(1)當圓柱底面半徑 取何值時， 取得最大值？并求出該
最大值（結果精確到0.01平方米）;
(2)若要制作一個如圖放置的，底面半徑為0.3米的燈籠，請作出
用于燈籠的三視圖（作圖時，不需考慮骨架等因素）.
【命題立意】本題是個應用題，主要考查學生分析問題、解決問題的能力，涉及函數求最值、幾何體的三視圖等相關知識.
【思路點撥】（1）建立 關于 的函數，根據函數的性質求最值；
（2）確定幾何體的有關數據后，按三視圖的要求畫圖．
【規范解答】（1）設圓柱形燈籠的高為 ，則 ，所以
所以 ．
所以，當 時S有最大值．
最大值為 （平方米）
（2）由（1） 時， 其正視圖與側視圖均為邊長是0.6的正方形，俯視圖是半徑為0.6的圓．如圖：

要點考向3：球鞋與空間幾何體的接、切問題
考情聚焦：1．有關球的知識的考查也是高考中常出現的問題，特別是球與多面體、旋轉體等組合的接、切問題。
2．多以客觀題的形式呈現，屬中檔題目。
例3：一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球鞋面上，且該六棱柱的高為 ，底面周長為3，那么這個球的體積為
思路分析：確定球與正六棱柱的關系→求球的半徑→求得體積。
解析：由已知正六棱柱的底面邊長為 ，而外接球的直徑恰好為最長的體對角線長。設球的半徑為R，則
答案：
注：（1）涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點或線作截面，把空間問題化歸為平面問題，再利用平面幾何知識尋找幾何體中元素間的關系。
（2）若球面上四點P、A、B、C構成的線段PA、PB、PC兩兩垂直，且 則 ，把有關元素“補形”成為一個球內接長方體（或其他圖形），從而顯示出球的數量特征，這種方法是一種常用的好方法。

【高考真題探究】
1．（2010?遼寧高考文科?Ｔ11）已知SABC是球O表面上的點，SA⊥平面ABC,AB⊥BC，SA=AB=1 BC= ,則球O的表面積等于（ ）
（A）4 (B）3 (C)2 (D)
【命題立意】本題考查了空間是兩點間距離公式和球的表面積公式。，
【思路點撥】

【規范解答】選A。 平面ABC，AB，AC 平面ABC， ， ，
故可以A為原點，AC所在的直線為 軸，AS所在的直線為 軸建立如圖所示的空間直
角坐標系A-xyz，則 , , , ,設球心O
坐標為 ，則點O到各頂點SABC的距離相等，都等于球的半徑R。
，
解得 ，
球的表面積為 。故選A。
【方法技巧】1、選用球心到各頂點的距離都相等來確定球心，才能求出半徑，
2、也可用另外的方法找到球心，因為∠ABC是直角，所以AC是過A、B、C三點的小圓的直徑，所以球心在過AC和平面ABC垂直的平面上，可知球心在平面SAC中，又因為球心到點SAC的距離都相等，且△SAC是直角三角形，所以球心就是斜邊SC的中點，球的半徑為SC的一半，
3、再一種方法是將三棱錐S-ABC補成一個長方體。
2．（2010?遼寧高考理科?Ｔ12）有四根長都為2的直鐵條，若再選兩根長都為a的直鐵條，使這六根鐵條端點處相連能夠焊接成一個三棱錐形的鐵架，則a的取值 范圍是（ ）
(A)（0, ） (B)（1, ） (C) ( , ） (D) （0, ）
【命題立意】以三棱錐為背景考查三角形中的三邊關系考查空 間想象能力和運算能力。
【思路點撥】分兩種情況，一種是邊長為a的棱在一個三角形中，另一種情況時長度為a的棱不在一個三角形中，分別討論。
【規范解答】選A
對于第一種情況，取BC的中點D連結PD、AD，則 在三角形PAD中，
有
對于第二種情況同理可以得到
綜合兩種情況，及 ，所以a的取值范圍是（0, ）。
3．（2010?浙江高考文科?Ｔ8）若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積是（ ）

（A） cm3 （B） cm3
（C） cm3 （D） cm3
【命題立意】本題主要考察了對三視圖所表達示的空間幾何體的識別以
及幾何體體積的計算，屬容易題。
【思路點撥】解答本題要先由三視圖，想象出直觀圖，再求體積。
【規范解答】選B。此幾何體上方為正四棱 柱、下方為正四棱錐。所以其體積為
。
【方法技巧】對于不規則幾何體求體積時可分幾部分規則的幾何體，再求體積和。
4．（2010?北京高考理科?Ｔ3）一個長方體
去掉一個小長方體，所得幾何體的正（主）視
圖與側（左）視圖分別如右圖所示，則該幾何
體的俯視圖為（ ）

【命題立意】本題考查三視圖知識，考查同學們的空間想象能力。
【思路點撥】結合正、側視圖，想象直觀圖。
【規范解答】選C。由主、左視圖可知直觀圖如圖所示：

因此，俯視圖是（C）。
5．（2010?北京高考文科?Ｔ8）如圖，正方體 的棱長為2，動點E、F在棱 上。點Q是CD的中點，動點P在棱AD上，若EF=1，DP=x， E=y(x,y大于零)，則三棱錐P-EFQ的體積：（ ）
（A）與x，y都有關；
（B）與x，y都無關；
（C）與x有關，與y無關；
（D）與y有關，與x無關；
【命題立意】本題考查幾何體體積的相關知識，關鍵是找到易求面積的底面與高。
【思路點撥】把EFQ看作底面，點P到對角面 的距離即為對應的高。
【規范解答】選C。 ，點P到平面EFQ的距離為 。
。


6．（2010 ?海南寧夏高考?理科T10）設三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱的長都為 ，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（ ）
（A） （B） （C） （D）
【命題立意】本小題主要考查了幾何體的外接球問題.
【思路點撥】找出球與棱柱的相對關系，找出球的半徑與三棱柱棱長之間的關系.
【規范解答】選Ｂ.設球心為 ，設正三棱柱上底面為 ，中心為 ，因為三棱柱所有棱的長都為 ，則可知 ， ，又由球的相關性質可知，球的半徑 ，所以球的表面積為 ，故選Ｂ.

【跟蹤模擬訓練】
一、選擇題（每小題6分，共36分）
1.下列結論正確的是（ ）
(A)各個面都是三角形的幾何體是三棱錐
(B)以三角形的一條邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐
(C)棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是六棱錐
(D)圓錐的頂點與底面圓周上的任意一點的連線都是母線
2．已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積是( )
(A)16π (B)20π (C)24π (D)32π
3．（2010江南模擬）已知四面體 中， ，且 、 、 兩兩互相垂直，在該四面體表面上與點 距離是 的點形成一條曲線，這條曲線的長度是 ( )

A. B. C. D.
4．表面積為 的正四面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為（ ）
A． B． C． D．
5．如右圖為一個幾何體的三視圖，尺寸如圖所示，則該幾何體的表面積為( ) ．(不考慮接觸點）

A. 6+ B. 18+
C. D. 18+
6．某幾何體的一條棱長為 ，在該幾何體的主視圖中，這條棱 的投影是長為 的線段，在該幾何體的左視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a+b的最大值為________.

二、填空題（每小題6分，共18分）
7．如圖所示兩組立體圖形都是由相同的小正方體拼成的。


(1)圖(1)的正（主）視圖與圖(2)的___________相同.
(2)圖(3)的___________圖與圖(4)的___________圖不同.
8.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積等于_______.

9.如圖1，一個正四棱柱形的密閉容器水平放置，其底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實心裝飾塊，容器內盛有a升水時，水面恰好經過正四棱錐的頂點P.如果將容器倒置，水面也恰好過點P（圖2）.有下列四個命題：

（A）正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半；
（B）將容器側面 水平放置時，水面也恰好過點 P；
（C）任意擺放該容器，當水面靜止時，水面都恰好經過點P；
（D）若往容器內再注入a升水，則容器恰好能裝滿.
其中真命題 的代號是：_____________（寫出所有真命題的代號）.
三、解答題（10、11 題 每題15分，12題16分，共46分）
10.如圖所示，長方體ABCD?A′B′C′D′中，用截面截下一個棱錐C?A′DD′，求棱錐C?A′DD′的體積與剩余部分的體積之比.

11.如圖所示，半徑為R的半圓內的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積（其中∠BAC=30°）.

12.（探究創新題）一個空間幾何體的三視圖及部分數據如圖所示.

(1)請畫出該幾何體的直觀圖,并求它的體積;
(2)證明：A1C⊥平面AB1C1；
(3)若D是棱CC1的中點，在棱AB上取中點E，判斷DE是否平行于平面AB1C1，并證明你的結論.


參考答案
1．【解析】選D.A錯誤,如圖1是由兩個結構相同的三棱錐疊放在一起構成的幾何體,各面都是三角形,但它不是棱錐.

B錯誤,如圖2,若△ABC不是直角三角形,或是直角三角形但旋轉軸不是直角邊,所得的幾何體都不是圓錐.

C錯誤,若六棱錐的所有棱長都相等,則底面多邊形是正六邊形.由幾何圖形知,若以正六邊形為底面,側棱長必然要大于底面邊長.
D正確,由頂點、底面圓周上一點及底面圓的圓心可得到旋轉的直角三角形.
2．【解析】選C.設正四棱柱的底面邊長為a，球半徑為R,則 解得a=2，R2=6，
∴球的表面積S=4πR2=24π.
3．【解析】選A.
4．【解析】選C.因為表面積為 ，所以棱長為 2，所以外接球的半徑為 ，所以球的體積為 。
5．【解析】選D.該幾何體由正三棱柱和球組成，正三棱柱的表面積為 ，球的表面積為 ，所以該幾何體的表面積為 。
6．【解析】如圖，把幾何體放到長方體中，使得長方體的對角線剛好為幾何體的已知棱，設長方體的對角線 ，則它的正視圖投影長為 ，側視圖投影長為 ，俯視圖投影長為 ，則 ，即 ，又 ， ，所以選C。
答案：4
7．【解析】對于第一組的兩個立體圖形,圖(1)的正（主）視圖與圖(2)的俯視圖相同.
對于第二組的兩個立體圖形,圖(3)的正（主）視圖與圖(4)的正（主）視圖不同,而側(左)視圖和俯視圖都是相同的.
答案：(1)俯視圖 (2)正（主）視 正（主）視
8．

9．【解析】由題意可知顯然選項D正確.如果擺放的容器不是水平的，則選項C不正確.
設正四棱柱的底面邊長為m,高為n，正四棱錐的高為h,則由


10．【解析】設長方體的三條棱長分別為AB=a，AD=b，AA′=c，
則V長方體=abc，

11．

12．【解析】（1）幾何體的直觀圖如圖.


(2)∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC.
∵三棱柱ABC ?A1B1C1為直三棱柱，
∴BC⊥CC1.
∵AC∩CC1=C，
∴BC⊥平面ACC1A1，
∴BC⊥A1C.∵B1C1∥BC,∴B1C1⊥A1C.
∵四邊形ACC1A1為正方形,
∴A1C⊥AC1.
∵B1C1∩AC1=C1.
∴A1C⊥平面AB1C1.

（3）當E為棱AB的中點時,
DE∥平面AB1C1.
證明：如圖，取BB1的中點F，
連結EF,FD，DE,
∵D，E，F分別為CC1，AB，BB1的中點,
∴EF∥AB1.
∵AB1 平面AB1C1，EF 平面AB1C1，
∴EF∥平面AB1C1.
∵FD∥B1C1，∴FD∥面AB1C1，又EF∩FD=F,
∴面DEF∥面AB1C1.
而DE 面DEF,
∴DE∥面AB1C1.


【備課資源】


【解析】選B.由三視圖知該幾何體為半個圓柱且高為2,底面半徑為1.
∴體積V= ×π×12×2=π


6.一個幾何體的三視圖及其尺寸(單位:cm)如圖所示,則該幾何體的側面積為______cm2.

【解析】該幾何體為正四棱錐,

側面三角形面積為 ×8×5=20（cm2）.
∴側面積為S=20×4=80（cm2）.
答案：80
7.如圖所示,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2,E,F,G分別為PC、PD、BC的中點.
(1)求證:PA∥平面EFG;
(2)求三棱錐P-EFG的體積.

【解析】（1）方法一：如圖，取AD的中點H，連接GH，FH，

∵E，F分別為PC，PD的中點，∴EF∥CD.
∵G,H分別為BC,AD的中點,∴GH∥CD.
∴EF∥GH.
∴E,F,H,G四點共面.
∵F,H分別為DP,DA的中點,∴PA∥FH.
∵PA 平面EFG,FH 平面EFG,
∴PA∥平面EFG.
方法二:∵E,F,G分別為PC,PD,BC的中點,
∴EF∥CD,EG∥PB.
∵CD∥AB,∴EF∥AB.
又EF 平面PAB,AB 平面PAB
∴EF∥平面PAB,同理EG∥平面PAB
∵EF∩EG=E,∴平面EFG∥平面PAB.
∵PA 平面PAB,∴PA∥平面EFG.
(2)∵PD⊥平面ABCD,GC 平面ABCD,∴GC⊥PD.

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