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第25－29課時： 導數應用的題型與方法
一．復習目標：
1．了解導數的概念，能利用導數定義求導數．掌握函數在一點處的導數的定義和導數的幾何意義，理解導函數的概念．了解曲線的切線的概念．在了解瞬時速度的基礎上抽象出變化率的概念．
2．熟記基本導數公式（c,x (m為有理數)，sin x, cos x, e , a , lnx, log x的導數）。掌握兩個函數四則運算的求導法則和復合函數的求導法則，會求某些簡單函數的導數，利能夠用導數求單調區間，求一個函數的最大(小)值的問題，掌握導數的基本應用．
3．了解函數的和、差、積的求導法則的推導，掌握兩個函數的商的求導法則。能正確運用函數的和、差、積的求導法則及已有的導數公式求某些簡單函數的導數。
4．了解復合函數的概念。會將一個函數的復合過程進行分解或將幾個函數進行復合。掌握復合函數的求導法則，并會用法則解決一些簡單問題。
二．考試要求：
⑴了解導數概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等），掌握函數在一點處的導數的定義和導數的幾何意義，理解導函數的概念。
⑵熟記基本導數公式（c,x (m為有理數)，sin x, cos x, e , a ,lnx, log x的導數）。掌握兩個函數四則運算的求導法則和復合函數的求導法則，會求某些簡單函數的導數。
⑶了解可導函數的單調性與其導數的關系，了解可導函數在某點取得極值的必要條件和充分條件（導數要極值點兩側異號），會求一些實際問題（一般指單峰函數）的最大值和最小值。
三．教學過程：
（Ⅰ）基礎知識詳析
導數是微積分的初步知識，是研究函數，解決實際問題的有力工具。在高中階段對于導數的學習，主要是以下幾個方面:
1．導數的常規問題：
（1）刻畫函數（比初等方法精確細微）；
（2）同幾何中切線聯系（導數方法可用于研究平面曲線的切線）；
（3）應用問題（初等方法往往技巧性要求較高，而導數方法顯得簡便）等關于 次多項式的導數問題屬于較難類型。
2．關于函數特征，最值問題較多，所以有必要專項討論，導數法求最值要比初等方法快捷簡便。
3．導數與解析幾何或函數圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個方向，應引起注意。
4．曲線的切線
在初中學過圓的切線，直線和圓有惟一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線叫做圓的切線，惟一的公共點叫做切點．圓是一種特殊的曲線，能不能將圓的切線的概念推廣為一段曲線的切線，即直線和曲線有惟一公共點時，直線叫做曲線過該點的切線，顯然這種推廣是不妥當的．如圖3—1中的曲線C是我們熟知的正弦曲線y=sinx．直線 與曲線C有惟一公共點M，但我們不能說直線 與曲線C相切；而直線 盡管與曲線C有不止一個公共點，我們還是說直線 是曲線C在點N處的切線．因此，對于一般的曲線，須重新尋求曲線的切線的定義．所以課本利用割線的極限位置來定義了曲線的切線．

5．瞬時速度
在高一物理學習直線運動的速度時，涉及過瞬時速度的一些知識，物理教科書中首先指出：運動物體經過某一時刻(或某一位置)的速度叫做瞬時速度，然后從實際測量速度出發，結合汽車速度儀的使用，對瞬時速度作了說明．物理課上對瞬時速度只給出了直觀的描述，有了極限工具后，本節教材中是用物體在一段時間運動的平均速度的極限來定義瞬時速度．
6．導數的定義
導數定義與求導數的方法是本節的重點，推導導數運算法則與某些導數公式時，都是以此為依據．
對導數的定義，我們應注意以下三點：
(1)△x是自變量x在 處的增量(或改變量)．
(2)導數定義中還包含了可導或可微的概念，如果△x→0時， 有極限，那么函數y=f(x)在點 處可導或可微，才能得到f(x)在點 處的導數．
(3)如果函數y=f(x)在點 處可導，那么函數y=f(x)在點 處連續(由連續函數定義可知)．反之不一定成立．例如函數y=x在點x=0處連續，但不可導．
由導數定義求導數，是求導數的基本方法，必須嚴格按以下三個步驟進行：
(1)求函數的增量 ；
(2)求平均變化率 ；
(3)取極限，得導數 。
7．導數的幾何意義
函數y=f(x)在點 處的導數，就是曲線y=(x)在點 處的切線的斜率．由此，可以利用導數求曲線的切線方程．具體求法分兩步：
(1)求出函數y=f(x)在點 處的導數，即曲線y=f(x)在點 處的切線的斜率；
(2)在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為

特別地，如果曲線y=f(x)在點 處的切線平行于y軸，這時導數不存，根據切線定義，可得切線方程為
8．和（或差）的導數
對于函數 的導數，如何求呢？我們不妨先利用導數的定義來求。


我們不難發現 ，即兩函數和的導數等于這兩函數的導數的和。
由此我們猜測在一般情況下結論成立。事實上教材中證明了我們的猜想，這就是兩個函數的和（或差）的求導法則。
9．積的導數
兩個函數的積的求導法則的證明是本節的一個難點，證明過程中變形的關鍵是依據導數定義的結構形式。（具體過程見課本P120）
說明：
（1） ；
（2）若c為常數，則(cu) ′=cu′。
10．商的導數
兩個函數的商的求導法則，課本中未加證明，只要求記住并能運用就可以。現補充證明如下：
設


因為v(x)在點x處可導，所以它在點x處連續，于是△x→0時，v(x+△x)→v(x)，從而 即 。
說明：（1） ； （2）
學習了函數的和、差、積、商的求導法則后，由常函數、冪函數及正、余弦函數經加、減、乘、除運算得到的簡單的函數，均可利用求導法則與導數公式求導，而不需要回到導數的定義去求。
11. 導數與函數的單調性的關系
㈠ 與 為增函數的關系。
能推出 為增函數，但反之不一定。如函數 在 上單調遞增，但 ，∴ 是 為增函數的充分不必要條件。
㈡ 時， 與 為增函數的關系。
若將 的根作為分界點，因為規定 ，即摳去了分界點，此時 為增函數，就一定有 。∴當 時， 是 為增函數的充分必要條件。
㈢ 與 為增函數的關系。
為增函數，一定可以推出 ，但反之不一定，因為 ，即為 或 。當函數在某個區間內恒有 ，則 為常數，函數不具有單調性。∴ 是 為增函數的必要不充分條件。
函數的單調性是函數一條重要性質，也是高中階段研究的重點，我們一定要把握好以上三個關系，用導數判斷好函數的單調性。因此新教材為解決單調區間的端點問題，都一律用開區間作為單調區間，避免討論以上問題，也簡化了問題。但在實際應用中還會遇到端點的討論問題，要謹慎處理。
㈣單調區間的求解過程，已知
（1）分析 的定義域； （2）求導數
（3）解不等式 ，解集在定義域內的部分為增區間
（4）解不等式 ，解集在定義域內的部分為減區間
我們在應用導數判斷函數的單調性時一定要搞清以下三個關系，才能準確無誤地判斷函數的單調性。以下以增函數為例作簡單的分析，前提條件都是函數 在某個區間內可導。
㈤函數單調區間的合并
函數單調區間的合并主要依據是函數 在 單調遞增，在 單調遞增，又知函數在 處連續，因此 在 單調遞增。同理減區間的合并也是如此，即相鄰區間的單調性相同，且在公共點處函數連續，則二區間就可以合并為以個區間。

（1） 恒成立 ∴ 為 上
∴ 對任意 不等式 恒成立
（2） 恒成立 ∴ 在 上
∴ 對任意 不等式 恒成立
㈥注意事項
1．導數概念的理解．
2．利用導數判別可導函數的極值的方法及求一些實際問題的最大值與最小值．
復合函數的求導法則是微積分中的重點與難點內容。課本中先通過實例，引出復合函數的求導法則，接下來對法則進行了證明。
對于復合函數，以前我們只是見過，沒有專門定義和介紹過它，課本中以描述性的方式對復合函數加以直觀定義，使我們對復合函數的的概念有一個初步的認識，再結合以后的例題、習題就可以逐步了解復合函數的概念。
3．要能正確求導，必須做到以下兩點：
（1）熟練掌握各基本初等函數的求導公式以及和、差、積、商的求導法則，復合函數的求導法則。
（2）對于一個復合函數，一定要理清中間的復合關系，弄清各分解函數中應對哪個變量求導。
4．求復合函數的導數，一般按以下三個步驟進行：
（1）適當選定中間變量，正確分解復合關系；
（2）分步求導（弄清每一步求導是哪個變量對哪個變量求導）；
（3）把中間變量代回原自變量（一般是x）的函數。
也就是說，首先，選定中間變量，分解復合關系，說明函數關系y=f(μ)，μ=f(x)；然后將已知函數對中間變量求導 ，中間變量對自變量求導 ；最后求 ，并將中間變量代回為自變量的函數。整個過程可簡記為分解——求導——回代。熟練以后，可以省略中間過程。若遇多重復合，可以相應地多次用中間變量。
（Ⅱ） 范例分析
例1． 在 處可導，則
思路： 在 處可導，必連續 ∴
∴

例2．已知f(x)在x=a處可導，且f′(a)=b，求下列極限：
（1） ； （2）
分析：在導數定義中，增量△x的形式是多種多樣，但不論△x選擇哪種形式，△y也必須選擇相對應的形式。利用函數f(x)在 處可導的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉化為導數定義的結構形式。
解：（1）

（2）

說明：只有深刻理解概念的本質，才能靈活應用概念解題。解決這類問題的關鍵是等價變形，使極限式轉化為導數定義的結構形式。

例3．觀察 ， ， ，是否可判斷，可導的奇函數的導函數是偶函數，可導的偶函數的導函數是奇函數。
解：若 為偶函數 令


∴ 可導的偶函數的導函數是奇函數
另證：
∴ 可導的偶函數的導函數是奇函數

例4．（1）求曲線 在點（1，1）處的切線方程；
（2）運動曲線方程為 ，求t=3時的速度。
分析：根據導數的幾何意義及導數的物理意義可知，函數y=f(x)在 處的導數就是曲線y=f(x)在點 處的切線的斜率。瞬時速度是位移函數S(t)對時間的導數。
解：（1） ，
，即曲線在點（1，1）處的切線斜率k=0
因此曲線 在（1，1）處的切線方程為y=1
（2）

。

例5． 求下列函數單調區間
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1） 時
∴ ，
（2） ∴ ，
（3）
∴
∴ ， ，
（4） 定義域為


例6．求證下列不等式
（1）
（2）
（3）
證：（1）
∴ 為 上 ∴ 恒成立
∴

∴ 在 上 ∴ 恒成立
（2）原式 令

∴ ∴
∴
（3）令

∴
∴

例7．利用導數求和：
（1） ；
（2） 。
分析：這兩個問題可分別通過錯位相減法及利用二項式定理來解決。轉換思維角度，由求導公式 ，可聯想到它們是另外一個和式的導數，利用導數運算可使問題的解決更加簡捷。
解：（1）當x=1時，
；
當x≠1時，
∵ ，
兩邊都是關于x的函數，求導得

即
（2）∵ ，
兩邊都是關于x的函數，求導得 。
令x=1得
，
即 。

例8．求滿足條件的
（1）使 為 上增函數
（2）使 為 上……
（3）使 為 上
解：（1） ∴
時 也成立 ∴
（2） 時 也成立 ∴
（3）

例9．（1） 求證
（2） 求證
（1）證：令 ∴
原不等式 令 ∴
∴ ∴
∴ 令 ∴
∴
∴ ∴ ∴
（2）令 上式也成立
將各式相加
即

例10．（2003年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷，理工農醫類19））
設 ，求函數 的單調區間.
分析：本小題主要考查導數的概念和計算，應用導數研究函數性質的方法及推理和運算能力.
解： .
當 時 .

（i）當 時，對所有 ，有 .
即 ，此時 在 內單調遞增.
（ii）當 時，對 ，有 ，
即 ，此時 在（0，1）內單調遞增，又知函數 在x=1處連續，因此，
函數 在（0，+ ）內單調遞增
（iii）當 時，令 ，即 .
解得 .
因此，函數 在區間 內單調遞增，在區間
內也單調遞增.
令 ，
解得 .
因此，函數 在區間 內單調遞減.
說明：本題用傳統作差比較法無法劃分函數的單調區間，只有用導數才行，這是教材新增的內容。其理論依據如下（人教版試驗本第三冊P148）：
設函數 在某個區間內可導，如果 ，則 為增函數；如果 ，則 為減函數。如果 ，則 為常數。
例11．已知拋物線 與直線y=x+2相交于A、B兩點，過A、B兩點的切線分別為 和 。
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）求直線 與 的夾角。
分析：理解導數的幾何意義是解決本例的關鍵。
解 （1）由方程組

解得 A(-2，0)，B(3，5)
（2）由y′=2x，則 ， 。設兩直線的夾角為θ，根據兩直線的夾角公式，
所以
說明：本例中直線與拋物線的交點處的切線，就是該點處拋物線的切線。注意兩條直線的夾角公式有絕對值符號。

例12．（2001年天津卷）設 ， 是 上的偶函數。
（I）求 的值；
（II）證明 在 上是增函數。
解：（I）依題意，對一切 有 ，即 ，
∴ 對一切 成立，
由此得到 ， ，
又∵ ，∴ 。
（II）證明：由 ，得 ，
當 時，有 ，此時 。
∴ 在 上是增函數。
例13．（2000年全國、天津卷）設函數 ，其中 。
（I）解不等式 ；
（II）證明：當 時，函數 在區間 上是單調函數。
解1：（I）分類討論解無理不等式（略）。

（II）作差比較（略）。
解2：
（i）當 時，有 ，此時 ，函數 在區間 上是單調遞減函數。但 ，因此，當且僅當 時， 。
（ii）當 時，解不等式 ，得 ， 在區間 上是單調遞減函數。
解方程 ，得 或 ，
∵ ，
∴當且僅當 時， ，
綜上，（I）當 時，所給不等式的解集為： ；
當 時，所給不等式的解集為： 。
（II）當且僅當 時，函數 在區間 上時單調函數。

例14．（2002年普通高等學校招生全國統一考試（新課程卷理科類20））
已知 ，函數 設 ，記曲線 在點 處的切線為 。
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）設 與 軸的交點為 ，證明：① ②若 ，則
解：（1） 的導數 ，由此得切線 的方程
，
（2）依題得，切線方程中令 ，得
，其中 ，
（?）由 ， ，有 ，及 ，
∴ ，當且僅當 時， 。
（?）當 時， ，因此， ，且由（?）， ，
所以 。

例15．（2003年普通高等學校招生全國統一考試（江蘇卷21））
已知 為正整數.
（Ⅰ）設 ；
（Ⅱ）設
分析：本題主要考查導數、不等式證明等知識，考查綜合運用所數學知識解決問題的能力。
證明：（Ⅰ）因為 ，
所以
（Ⅱ）對函數 求導數:

∴

即對任意

（Ⅲ）、強化訓練
1．設函數f(x)在 處可導，則 等于 （ ）
A． B． C． D．
2．若 ，則 等于 （ ）
A． B． C．3 D．2
3．曲線 上切線平行于x軸的點的坐標是 （ ）
A．（-1，2） B．（1，-2） C．（1，2） D．（-1，2）或（1，-2）
4．若函數f(x)的導數為f′(x)=-sinx，則函數圖像在點（4，f（4））處的切線的傾斜角為（ ）
A．90° B．0° C．銳角 D．鈍角
5．函數 在[0，3]上的最大值、最小值分別是 （ ）
A．5，－15B．5，－4C．－4，－15D．5，－16
6．一直線運動的物體，從時間t到t+△t時，物體的位移為△s，那么 為（ ）
A．從時間t到t+△t時，物體的平均速度
B．時間t時該物體的瞬時速度
C．當時間為△t 時該物體的速度
D．從時間t到t+△t時位移的平均變化率
7．關于函數 ，下列說法不正確的是 （ ）
A．在區間（ ，0）內， 為增函數
B．在區間（0，2）內， 為減函數
C．在區間（2， ）內， 為增函數
D．在區間（ ，0） 內， 為增函數
8．對任意x，有 ，f(1)=-1，則此函數為 （ ）
A． B． C． D．
9．函數y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值與最小值分別是 （ ）
A.5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -16
10．設f(x)在 處可導，下列式子中與 相等的是 （ ）
（1） ； （2） ；
（3） （4） 。
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）（4）
11．（2003年普通高等學校招生全國統一考試（上海卷理工農醫類16））
f( )是定義在區間[－c,c]上的奇函數，其圖象如圖所示：令g（ ）=af（ ）+b，則下
列關于函數g（ ）的敘述正確的是（ ）
A．若a<0,則函數g（ ）的圖象關于原點對稱.
B．若a=－1，－2C．若a≠0,b=2,則方程g（ ）=0有兩個實根.
D．若a≥1,b<2,則方程g（ ）=0有三個實根.
12．若函數f(x)在點 處的導數存在，則它所對應的曲線在點 處的切線方程是_____________。
13．設 ，則它與x軸交點處的切線的方程為______________。
14．設 ，則 _____________。
15．垂直于直線2x-6y+1=0，且與曲線 相切的直線的方程是________．
16．已知曲線 ，則 _____________。
17．y=x2ex的單調遞增區間是
18．曲線 在點 處的切線方程為____________。
19．P是拋物線 上的點，若過點P的切線方程與直線 垂直，則過P點處的切線方程是____________。
20．在拋物線 上依次取兩點，它們的橫坐標分別為 ， ，若拋物線上過點P的切線與過這兩點的割線平行，則P點的坐標為_____________。
21．曲線 在點A處的切線的斜率為3，求該曲線在A點處的切線方程。
22．在拋物線 上求一點P，使過點P的切線和直線3x-y+1=0的夾角為 。
23．判斷函數 在x=0處是否可導。
24．求經過點（2，0）且與曲線 相切的直線方程。
25．求曲線y=xcosx在 處的切線方程。

26．已知函數f(x)=x2+ax+b，g(x)=x2+cx+d. 若f(2x+1)=4g(x)，且f'x=g'(x)，f(5)=30，求g(4).

27．已知曲線 與 。直線l與 、 都相切，求直線l的方程。

28．設f(x)=(x-1)(x-2)…(x-100)，求f′(1)。
29．求曲線 在點 處的切線方程。
30．求證方程 在區間 內有且僅有一個實根
31． 、 、 、 均為正數 且
求證：
32．（1）求函數 在x=1處的導數；
（2）求函數 （a、b為常數）的導數。

33．證明：如果函數y=f(x)在點 處可導，那么函數y=f(x)在點 處連續。
34．（2002年普通高等學校招生全國統一考試（新課程卷文史類21））
已知 函數 ，設 ，記曲線 在點 處的切線為 。
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）設 與 軸的交點為 ，證明：① ；②若 ，則 。

（Ⅳ）、參考答案
1－5 CBDCA； 6－10 BDBAB； 11 B
12． 13．y=2(x-1)或y=2(x+1)
14．-6 15．3x+y+6=0 16．
17．(-∞,-2)與(0,+ ∞) 18．
19．2x-y-1=0 20．（2，4）
21．由導數定義求得 ，
令 ，則x=±1。
當x=1時，切點為（1，1），所以該曲線在（1，1）處的切線方程為y-1=3(x-1)即3x-y-2=0；
當x=-1時，則切點坐標為（-1，-1），所以該曲線在（-1，-1）處的切線方程為y+1=3(x+1)即3x-y+2=0。

22．由導數定義得f′(x)=2x，設曲線上P點的坐標為 ，則該點處切線的斜率為 ，根據夾角公式有
解得 或 ， 由 ，得 ；
由 ，得 ； 則P（-1，1）或 。

23． ，
，
∵ ，
∴ 不存在。
∴函數f(x)在x=0處不可導。

24．可以驗證點（2，0）不在曲線上，故設切點為 。
由
，
得所求直線方程為
。
由點（2，0）在直線上，得 ，
再由 在曲線上，得 ，
聯立可解得 ， 。所求直線方程為x+y-2=0。

25．Y’=x'cosx+x?(cosx)'=cosx-xsinx
，切點為 ，
∴切線方程為： 即 。

26解：由已知(2x+1)2+a(2x+1)+b=4(x2+cx+d)
∴
=2x+a =2x+c ∴a=c ③
又知52+5a+b=30 ∴5a+b=5 ④
由①③知a=c=2. 依次代入④、②知b=－5，
d=－ g(4)=42+2×4－ =23
27．解：設l與 相切于點 ，與 相切于 。對 ，則與 相切于點P的切線方程為 ，即 。 ①
對 ，則與 相切于點Q的切線方程為 ，即 。 ②
∵ 兩切線重合，∴ ，
解得 或 ，
∴直線方程為y=0或y=4x-4。

28．解：
∴

令x=1得


29．解： ，則
。
∴切線方程為 即5x+32y-7=0。
30解：
在
∴ 在 內與 軸有且僅有一個交點
∴ 方程 在 內僅有一解

31．證：由對稱性不妨設
（1）若 顯然成立
（2）若 設
∴


∵ ∴ ∴ 時
∴ ∴

32．分析：根據導數的定義求函數的導數，是求導數的基本方法。
解（1） ，
， ∴ 。
（2）

∴y′=2x+a
說明 應熟練掌握依據導數的定義求函數的導數的三個步驟。

33．分析：從已知和要證明的問題中去尋找轉化的方法和策略，要證明f(x)在點 處連續，必須證明 ，由于函數f(x)在點 處可導，因此根據函數在點 處可導的定義，逐步實現這個轉化。
已知： 求證：
證明：考慮 ，令 ，則 ，等價于△x→0，于是

∴函數f(x)在點 處連續。
說明：函數f(x)在點 處連續、有極限以及導數存在這三者之間的關系是：導數存在 連續 有極限。反之則不一定成立，例如y=x在點x=0處有極限且連續，但導數不存在。

34．解：（1） 的導數 ，由此得切線 的方程
，
（2）依題意，在切線方程中令 ，得 ，
（?） ，
∴ ，當且僅當 時取等成立。
（?）若 ，則 ， ，且由（?） ，

本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.bianbian123.com/gaosan/56189.html

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