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第二十二 一元二次方程

教材內容
本單元的主要內容：
1.一元二次方程及其有關概念，一元二次方程的解法（開平方法、配方法、公式法、分解因式法），
一元二次方程根與系數的關系，運用一元二次方程分析和解決實際問題.
2.本單元在教材中的地位和作用：
目標
1.一分析實際問題中的等量關系并求解其中未知數為背景，認識一元二次方程及其有關概念。
2.根據化歸思想，抓住“降次”這一基本策略，熟練掌握開平方法、配方法、公式法和分解因式法等一元二次方程的基本解法.
3.經歷分析和解決問題的過程，體會一元二次方程的教學模型作用，進一步提高在實際問題中運用方程這種重要數學工具的基本能力。
教學重點、難點
重點：
1．一元二次方程及其有關概念
2.一元二次方程的解法（開平方法、配方法、公式法、分解因式法）
3.一元二次方程根與系數的關系以及運用一元二次方程分析和解決實際問題。
難點：
1.一元二次方程及其有關概念
2.一元二次方程的解法（配方法、公式法、分解因式法），
3.一元二次方程根與系數的關系以及靈活運用
時安排
本教學時約需時，具體分配如下（供參考）
22．1 一元二次方程 1時
22．2 降次 7 時
22．3 實際問題與一元二次方程 3 時
教學活動、習題、小結
22.1 一元二次方程
教學目的
　　1．使學生理解并能夠掌握整式方程的定義．
　　2．使學生理解并能夠掌握一元二次方程的定義．
　　3．使學生理解并能夠掌握一元二次方程的一般表達式以及各種特殊形式．
教學重點、難點
　　重點：一元二次方程的定義．
　　難點：一元二次方程的一般形式及其二次項系數、一次項系數和常數項的識別．
教學過程
復習提問
　　1．什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？
　　2．指出下面哪些方程是已學過的方程？分別叫做什么方程？
　　(l)3x+4=l； 　　　　　　 (2)6x-5y=7；
　　 　
　　
　　 　
　　3．結合上述有關方程講解什么叫做“元”，什么叫做“次”．
引入新
　　1．方程的分類：（通過上面的復習，引導學生答出）
　　學過的幾類方程是
　　 　
　　
　
　　沒學過的方程有x2-70x+825=0， x(x+5)=150．
　　這類“兩邊都是關于未知數的整式的方程，叫做整式方程．”像這樣，我們把“只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．”
　　據此得出復習中學生未學過的方程是
　　(4)一元二次方程：x2-70x+825=0， x(x+5)=150．
　　同時指導學生把學過的方程分為兩大類：
　　
　　2．一元二次方程的一般形式
　　注意引導學生考慮方程x2-70x+825=0和方程x(x+5)=150，即x2+5x=150，
　　可化為：x2+5x-150=0．
　　從而引導學生認識到：任何一個一元二次方程，經過整理都可以化為
ax2+bx+c=0(a≠0)的形式．并稱之為一元二次方程的一般形式．
其中ax2，bx，c分別稱為二次項、一次項、常數項；a，b分別稱為二次項系數、一次項系數．
【注意】二次項系數a是不等于0的實數(a=0時，方程化為bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c可為任意實數．
　　例 把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式．并寫出它的二次項系數、一次項系數及常數項．
堂練習 P27 1、2題
歸納總結
　　1．方程分為兩大類：　
　　判別整式方程與分式方程的關鍵是看分母中是否含有未知數；判別一元一次方程，一元二次方程的關鍵是看方程化為一般形式后，未知數的最高次數是一次還是二次．
　　2．一元二次方程的定義：一個整式方程，經化簡形成只含有一個未知數且未知數的最高次數是2，則這樣的整式方程稱一元二次方程．
其一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中b，c均可為任意實數，而a不能等于零．
布置作業：習題22.1 1、2題．
達標測試
1.在下列方程中,一元二次方程的個數是( )
①3x2+7=0,②ax2+bx+c=0,③(x+2)(x-3)=x2-1,④x2- +4=0,
⑤x2-( +1)x+ =0,⑥3x2- +6=0
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
2.關于x的一元二次方程3x2=5x-2的二次項系數,一次項和常數項,下列說法完全正確的是( )
A.3,-5,-2 B.3,-5x,2
C.3,5x,-2 D.3,-5,2
3.方程(m+2) +3mx+1=0是關于x的一元二次方程,則( )
A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠±2
4.若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程,則k的取值范圍是
5.方程4x2=3x- +1的二次項是 ,一次項是 ,常數項是
后反思：

22.2解一元二次方程
第一時
直接開平方法
教學目的
　　1．使學生掌握用直接開平方法解一元二次方程．
　　2．引導學生通過特殊情況下的解方程，小結、歸納出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c＜0)的方法．
教學重點、難點
　　重點：準確地求出方程的根．
　　難點：正確地表示方程的兩個根．
教學過程
　　復習過程
　　回憶數的開方一中的知識，請學生回答下列問題，并說明解決問題的依據．
　　求下列各式中的x：
　　1．x2=225； 2．x2-169=0；3．36x2=49； 4．4x2-25=0．
　　一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
　　解題的依據是：一個正數有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數．
　　即 一般地，如果一個數的平方等于a(a≥0)，那么這樣的數有兩個，它們是互為相反數．
　　引入新
　　我們已經學過了一些方程知識，那么上述方程屬于什么方程呢？
　　新
　　例1 解方程 x2-4=0．
　　解：先移項，得x2=4．
　　
　　即x1=2，x2=-2．
　　這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法．
　　例2 解方程 (x+3)2=2．
練習：P28 1、2
歸納總結
　　1．本節主要學習了簡單的一元二次方程的解法——直接開平方法．
　　2．直接法適用于ax2+c=0(a＞0，c＜0)型的一元二次方程．
布置作業：習題22.1 4、6題
達標測試
1.方程x2-0.36=0的解是
A.0.6 B.-0.6 C.±6 D.±0.6
2.解方程:4x2+8=0的解為
A.x1=2 x2=-2 B.
C.x1=4 x2=-4 D.此方程無實根
3.方程(x+1)2-2=0的根是
A. B.
C. D.
4.對于方程(ax+b)2=c下列敘述正確的是
A.不論c為何值,方程均有實數根 B.方程的根是
C.當c≥0時,方程可化為:
D.當c=0時,
5.解下列方程:
①.5x2-40=0 ②.(x+1)2-9=0
③.(2x+4)2-16=0 ④.9(x-3)2-49=0
后反思

第二時
配方法
教學目的
　　1．使學生掌握用配方法解一元二次方程的方法．
　　2．使學生能夠運用適當變形的方法，轉化方程為易于用配方法求解的形式，解某些一元二次方程．并由此體會轉化的思想．
教學重點、難點
　　重點：掌握配方的法則．
　　難點：湊配的方法與技巧．
教學過程
　　復習過程
　　用開平方法解下列方程：
　　(1)x2=441； (2)196x2-49=0；
　　引入新
　　我們知道，形如x2-A=0的方程，可變形為x2=A(A≥0)，再根據平方根的意義，用直接開平方法求解．那么，我們能否將形如ax2+bx+c=0(a＞0)的一類方程，化為上述形式求解呢？這正是我們這節要解決的問題．
　　新
　　我們研究方程x2+6x+7=0的解法：
　　將方程視為：x2+2•x•3=-7，　即 x2+2•x•3+32=32-7，∴ (x+3)2=2，
　　
　　這種解一元二次方程的方法叫做配方法．這種方法的特點是：先把方程的常數項移到方程的右邊，再把左邊配成一個完全平方式，如果右邊是非負數，就可以進一步通過直接開平方法求出它的解．
　　例1 解方程x2-4x-3=0．
　　配方法解之．在解的過程中，注意介紹配方的法則．
　　例2 解方程2x2+3=7x．

練習：P34 1、2題
歸納總結
應用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的要點是：
　　(1)化二次項系數為1；
　　(2)移項，使方程左邊為二次項和一次項，右邊為常數；
　　(3)方程兩邊各加上一次項系數一半的平方，使左邊配成一個完全平方式.
布置作業：習題22.2 1、3題
達標測試
1.方程x2-a2=(x-a)2(a≠0)的根是
A.a B.0 C.1或a D.0或a
2.已知關于x的方程(m+3)x2+x+m2+2m-3=0一根為0,另一根不為0,則m的值
為
A.1 B.-3 C.1或-3 D.以上均不對
3.若x2-mx+ 是一個完全平方式,則m=
A.1 B.-1 C.±1 D.以上均不對
4.方程x2=5的解是 ,方程(x-1)2=5的解是 ,方程(3x-1)2=5的解是
5.① =(x- )2 ② =(x+ )2
后反思：

第三時
求根公式法
教學目的
　　1．使學生掌握一般一元二次方程的求根公式的推導過程，并由此培養學生的分析、綜合和計算能力．
　　2．使學生掌握公式法解一元二次方程的方法．
教學重點、難點
　　重點：要求學生正確運用求根公式解一元二次方程．
難點：1.求根公式的推導過程．
2.含有字母參數的一元二次方程的公式解法．
教學過程
　　復習提問
　　提問：當x2=c時，c≥0時方程才有解，為什么？
　　練習：用配方法解下列一元二次方程
　　(1)x2-8x=20； (2)2x2-6x-1=0．
　　引入新
　　我們思考用配方法解一般形式的一元二次方程，應如何配方進行求解？
　　新
　　(引導學生討論)用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的步驟．
　　解：∵a≠0，兩邊同除以a，得

　　把常數項移到方程右邊，并兩邊各加上一次項系數的一半的平方，得


　(a≠0)的求根公式．用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法．
　應用求根公式解一元二次方程的關鍵在于：
(1)將方程化為一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)；(2)將各項的系數a，b，c代入求根公式．
　　例1 解方程x2-3x+2=0.
　　例2 解方程2x2+7x=4.
例5 解關于x的方程 x2-m(3x-2m+n)-n2=0．
練習P37 1題
歸納總結
　　1．本節我們推導出了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，即

要重點讓學生注意到應用公式的大前提，即b2-4ac≥0．
　　2．應注意把方程化為一般形式后，再用公式法求解．
布置作業：習題22.2 5、8、10題
達標測試
1.若代數式4x2-2x-5與2x2+1的值互為相反數,則x的值為
A.1或 B.1或 C.-1或 D.1或
2.對于一元二次方程ax2+bx+c=0,下列敘述正確的是
A.方程總有兩個實數根
B.只有當b2-4ac≥0時,才有兩實根
C.當b2-4ac<0時,方程只有一個實根
D.當b2-4ac=0時,方程無實根
3.已知三角形兩邊長分別是1和2,第三邊的長為2x2-5x+3=0的根,則這個三角形的周長是
A.4 B. C.4或 D.不存在
4.如果分式 的值為0,則x值為
A.3或-1 B.3 C.-1 D.1或-3
5.把 化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式后,則a= ,b= ,c=
6.若分式 的值為0,則x=
7.已知x=-1是關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根,則 =__________.
8.若a2+b2+2a-4b+5=0,則關于x的方程ax2-bx+5=0的根是___________.
后反思：

第四時
因式分解法
教學目的
　　使學生掌握應用因式分解法解某些系數較為特殊的一元二次方程的方法．
教學重點、難點
　　重點：用因式分解法解一元二次方程．
　　難點：將方程化為一般形式后，對左側二次三項式的因式分解．
教學過程
　　復習提問
　　1．在初一時，我們學過將多項式分解因式的哪些方法？
　　2．方程x2=4的解是多少？
　　引入新
　　方程x2=4還有其他解法嗎？
　　新
　　眾所周知，方程x2=4還可用公式法解．
　　此法要比開平方法繁冗．本，我們將介紹一種較為簡捷的解一元二次方程的方法——因式分解法．
　　我們仍以方程x2=4為例．
　　移項，得 x2-4=0，
　　對x2-4分解因式，得 (x+2)(x-2)=0．
　　我們知道：
　　∴ x+2=0，x-2=0．
　　即 x1=-2，x2=2．
　　由上述過程我們知道：當方程的一邊能夠分解成兩個一次因式而另一邊等于0時，即可解之．這種方法叫做因式分解法．
例1 解下列方程：
(1)x2-3x-10=0； (2)(x+3)(x-1)=5．
　　在講例1(1)時，要注意講應用十字相乘法分解因式；
　　講例1(2)時，應突出講將方程整理成一般形式，然后再分解因式解之．
　　例2 解下列方程：
　　(1)3x(x+2)=5(x+2)； (2)(3x+1)2-5=0．
　　在講本例(1)時，要突出講移項后提取公因式，形成(x+2)(3x-5)=0后求解；
　　
　　再利用平方差公式因式分解后求解．
　　注意：在講完例1、例2后，可通過比較講述因式分解的方法應“因題而宜”．
　　例3 解下列方程：
　　(1)3x2-16x+5=0 ；(2)3(2x2-1)=7x．
　練習：P40 1、2題
歸納總結
　　對上述三例的解法可做如下總結：因式分解法解一元二次方程的步驟是
　　1．將方程化為一般形式；
　　2．把方程左邊的二次三項式分解成兩個一次式的積；(用初一學過的分解方法)
　　3．使每個一次因式等于0，得到兩個一元一次方程；
　　4．解所得的兩個一元一次方程，得到原方程的兩個根．
布置作業：習題22.2 6、10題
達標測試
1.對方程(1)(2x-1)2=5,(2)x2-x-1=0,(3) 選擇合適的解法是
A.分解因式法、公式法、分解因式法
B.直接開平方法、公式法、分解因式法
C.公式法、配方法、公式法
D.直接開平方法、配方法、公式法
2．方程2x(x-3)=5(x-3)的根為
A. B.x=3 C. D.
3.若x2-5?x?+4=0,則所有x值的和是
A．1 B.4 C.0 D.1或4
5.若方程x2+ax-2a=0的一根為1,則a的取值和方程的另一根分別是
A.1,-2 B.-1,2 C.1,2 D.-1,-2
5．已知3x2y2-xy-2=0，則x與y之積等于
6．關于x的一元二次方程(m+2)x2+x-m2-5m-6=0有一根為0，則m= 。
7．方程(x-1)(x-2)=0的兩根為x1,x2，且x1>x2,則x1-2x2的值是 。
8．方程x2=?x?的解是
9.用因式分解法解下列方程:
(1).(2x-1)2+3(1-2x)=0 (2).(1-3x)2=16(2x+3)2 (3).x2+6x-7=0
10.選用適當的方法解下列方程:
(1).(3-x)2+x2=9 (2).(2x-1)2+(1-2x)-6=0
(3).(3x-1)2=4(1-x)2 (4). (x-1)2=(1-x)
根據以上各方程的特點,選擇解法的思路是:先特殊后一般.選擇解法的順序是:直接開平方法—因式分解法—公式法或配方法.
配方法是普遍適用的方法,但不夠簡便,一般不常用.不過對于二次項系數為1,一次項系數為偶數的一元二次方程,用配方法可能比用公式法要簡單些.
后反思：

第五時
一元二次方程的根的判別式。
教學目的
　　1．使學生理解并掌握一元二次方程的根的判別式．
2．使學生掌握不解方程，運用判別式判斷一元二次方程根的情況．
3. 通過對含有字母系數方程的根的討論，培養學生運用一元二次方程根的判別式的論證能力和邏輯思維能力．培養學生思考問題的靈活性和嚴密性．
教學重點、難點
　　重點：一元二次方程根的判別式的內容及應用．
難點：1.一元二次方程根的判別式的推導．
2.利用根的判別式進行有關證明
教學過程
　　復習提問
　　1．一元二次方程的一般形式及其根的判別式是什么？
　　2．用公式法求出下列方程的解：
　　(1)3x2＋x－10＝0；(2)x2－8x＋16＝0；(3)2x2－6x＋5＝0．
　　引入新
　　通過上述一組題，讓學生回答出：一元二次方程的根的情況有三種，即有兩個不相等的實數根；兩個相等的實數根；沒有實數根．
　　接下向學生提出問題：是什么條決定著一元二次方程的根的情況？這條與方程的根之間又有什么關系呢？能否不解方程就可以明確方程的根的情況？這正是我們本要探討的題．(板書本標題)
　　新
　　先討論上述三個小題中b2－4ac的情況與其根的聯系．再做如下推導：
　　對任意一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，可將其變形為

　　∵a≠0，∴4a2＞0．
　　由此可知b2－4ac的值的“三岐性”，即正、零、負直接影響著方程的根的情況．
　　(1)當b2－4ac＞0時，方程右邊是一個正數．

　　(2)當b2－4ac＝0時，方程右邊是0．
　　

　　通過以上討論，總結出：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情況可由b2－4ac判定．故稱b2－4ac是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判別式，通常用“△”表示．
　　綜上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
　　 當△＞0時，有兩個不相等的實數根；
　　 當△＝0時，有兩個相等的實數根；
　　 當△＜0時，沒有實數根．
反過也成立．
　　例1.不解方程，判別下列方程根的情況：
　　(1)2x2＋3x－4＝0；　(2)16y2＋9＝24y；　(3)5(x2＋1)－7x＝0．
分析：要想確定上述方程的根的情況，只需算出“△”，確定它的符號情況即可．
例2．當k取什么值時，關于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0
　　(1)有兩個不相等的實數根；(2)有兩個相等實數根；(3)方程沒有實數根．
例3. 求證關于x的方程(k2+1)x2-2kx+(k2+4)=0沒有實數根.
歸納總結
　　應用判別式解題應注意以下幾點：
　　1．應先把已知方程化為一元二次方程的一般形式，為應用判別式創造條．
　　2．一元二次方程根的判別式的逆命題也是成立的．
布置作業：習題22.2 4題
達標測試
1.證明關于x的方程(x-1)(x-2)=m2有兩個不相等的實數根．
2.已知a，b，c是△ABC的三邊的長，求證方程a2x2-(a2+b2-c2)x+b2=0沒有實數根．
3.若m≠n，求證關于x的方程2x2+2(m+n)x+m2+n2=0無實數根．
4.已知，關于x的方程（a-2）x2-2（a-1）x+（a+1）＝0，當a為何非負整數時；
①.方程只有一個實數根.②方程有兩個相等的實數根.③方程沒有實數根.
后反思

第六時
一元二次方程的根與系數的關系
教學目的
　　1．使學生掌握一元二次方程根與系數的關系(即韋達定理)，并學會其運用．
　　2．培養學生分析、觀察以及利用求根公式進行推理論證的能力．
教學重點、難點
重點：1.韋達定理的推導和靈活運用．
2.已知方程求關于根的代數式的值
　　難點：用兩根之和與兩根之積表示含有兩根的各種代數式．
教學過程
　　復習提問
　　1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式應如何表述？
　　2．上述方程兩根之和等于什么？兩根之積呢？
　　新
　　一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根為
　
　　
　　由此得出，一元二次方程的根與系數之間存在如下關系：(又稱“韋達定理”)
　　如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個根是x1，x2，那么
　　我們再看二次項系數為1的一元二次方程x2＋px＋q＝0的根與系數的關系．
　　 　
　　
　　得出：
　　如果方程x2＋px＋q＝0的兩根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q．
　　由 x1＋x2＝－p，x1x2＝q 可知p＝－(x1＋x2)，q＝x1•x2，
　　∴ 方程x2＋px＋q＝0，
　　即 x2－(x1＋x2)x＋x1•x2＝0．
這就是說，以兩個數x1，x2為根的一元二次方程(二次項系數為1)是x2－(x1＋x2)x＋x1•x2＝0．
例1．已知方程5x2＋kx－6＝0的一個根是2，求它的另一根及k的值．
例2.下列各方程兩根之和與兩根之積各是什么？
　　(1)x2－3x－18＝0； (2)x2＋5x＋4＝5；
　　(3)3x2＋7x＋2＝0； (4)2x2＋3x＝0．
練習 P42
歸納總結
　　1．本節主要學習了一元二次方程根與系數關系定理，應在應用過程中熟記定理．
2．要掌握定理的兩個應用：
⑴.不解方程直接求方程的兩根之和與兩根之積；
⑵.已知方程一根求另一根及系數中字母的值．
布置作業：習題22.2 7題
達標測試
1．方程2x2＋7x＋k＝0的兩根中有一個根為0，k為何值？
2.利用根與系數的關系，求一元二次方程2x2＋3x－1＝0兩根的(1)平方和；(2)倒數和．
后反思

第七時
二次三項式的因式分解(公式法)
教學目的
　　1．使學生理解二次三項式的意義及解方程和因式分解的關系．
　　2．使學生掌握用求根法在實數范圍內將二次三項式分解因式．
教學重點、難點
　　重點：用求根法分解二次三項式．
難點：1.方程的同解變形與多項式的恒等變形的區別．
2.二元二次三項式的因式分解．
教學過程
　　復習提問
　　解方程：1．x2-x-6＝0； 2．3x2-11x+10＝0； 3．4x2+8x-1＝0．
　　引入新
　　在解上述方程時，第1，2題均可用十字相乘法分解因式，迅速求解．而第3題則只有采用其他方法．此題給我們啟示，用十字相乘法分解二次三項式，有時是無法做到的．是否存在新的方法能分解二次三項式呢？第3個方程的求解給我們以啟發．
　　新
　　二次三項式ax2+bx+c(a≠0)，我們已經可以用十字相乘法分解一些簡單形式．下面我們介紹利用一元二次方程的求根公式將之分解的方法．
　　 易知，解一元二次方程2x2-6x+4＝0時，可將左邊分解因式，即2(x-1)(x-2)＝0，
　　 求得其兩根x1＝1，x2＝2.
　　反之，我們也可利用一元二次方程的兩個根分解二次三項式．即，令二次三項式為0，解此一元二次方程，求出其根，從而分解二次三項式．具體方法如下：
　　 如果一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的兩個根是
　　 　
　　 　　
　
＝a[x2-(x1+x2)x+x1x2] ＝a(x-x1)(x-x2)．
　　從而得出如下結論．
　　在分解二次三項式ax2+bx+c的因式時，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的兩根x1，x2，然后寫成ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2)．
　　 例如，方程2x2-6x+4＝0的兩根是x1＝1，x2＝2．
　　 則可將二次三項式分解因式，得2x2-6x+4＝2(x-1)(x-2)．
　　例1 把4x2-5分解因式．
歸納總結
用公式法解決二次三項式的因式分解問題時，其步驟為：
　　1．令二次三項式ax2+bx+c＝0；
　　2．解方程(用求根公式等方法)，得方程兩根x1，x2；
3．代入a(x-x1)(x-x2)．
二次三項式ax2+bx+c(a≠0)分解因式的方法有三種，即
　　1．利用完全平方公式；
　　2．十字相乘法：
　　即x2+(a+b)x+ab＝(x+a)(x+b)；
　　acx2+(ad+bc)x+bd＝(ax+b)(cx+d)．
　　3．求根法：
　　ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2)，
　　(1)當b2-4ac≥0時，可在實數范圍內分解；
(2)當b2-4ac＜0時，在實數范圍內不能分解．
布置作業：
對下列式子進行因式分解
①2x2+6x+4. ②.4x2-4x+1 ③.-2x2-4x+3. ④.2x2-8xy+5y2
后反思

22.3一元二次方程的應用
第一時
教學目的
　　1．使學生會列出一元二次方程解應用題．
　　2．使學生通過列方程解應用題，進一步提高邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力．
教學重點、難點
　　重點：由應用問題的條列方程的方法．
　　難點：設“元”的靈活性和解的討論．
教學過程
　　復習提問
　　1．一元二次方程有哪些解法？(要求學生答出：開方法、配方法、公式法、因式分解法．)
　　2．回憶一元二次方程解的情況．(要求學生按△＞0，△＝0，△＜0三種情況回答問題．)
　　3．我們已經學過的列方程解應用題時，有哪些基本步驟？(要求學生回答：①審題；②設未知數；③根據等量關系列方程(組)；④解方程(組)；⑤檢驗并寫出答案．)
　　引入新
　　問題1：用一塊長80cm，寬60cm的薄鋼片，在四個角上截去四個相同的小正方形，然后做成底面積為1500cm2的無蓋長方形盒子．試問：應如何求出截去的小正方形的邊長？
　　 解：設小正方形邊長為xcm，則盒子底面的長、寬分別為(80-2x)cm及(60-2x)cm，依題意，可得(80-2x)(60-2x)＝1500，
　　 即 x2-70x+825＝0．
　　當時，我們不會解此方程．現在，可用求根公式解此方程了．
　
　　∴x1＝55，x2＝15．
　　 當x＝55時，80-2x＝-30，60-2x＝-50；
　　 當x＝15時，80-2x＝50，60-2X＝30．
　　 由于長、寬不能取負值，故只能取x＝15，即小正方形的邊長為15cm．
　　 問題2：剪一塊面積是150cm2的長方形鐵片，使它的長比寬多5cm，這塊鐵片應怎樣剪？
　　 分析：要解決此問題，需求出鐵片的長和寬，由于長比寬多5cm，可設寬為未知數列方程．
　　 解：設這塊鐵片寬xcm，則長是(x+5)cm．依題意，得
　　x(x+5)＝150，即x2+5x-150＝0．
　　
　　 ∴x1＝10，x2＝-15(舍去)．
　　 ∴x＝10，x+5＝15．
　　 答：應將之剪成長15cm，寬10cm的形狀．
歸納總結
　　利用一元二次方程解應用題的主要步驟仍是：①審題；②設未知數；③列方程；④解方程；⑤依題意檢驗所得的根；⑥得出結論并作答．
布置作業：習題22.3 1、2、3、5題
后反思

第二時
教學目的
　　使學生掌握有關面積和體積方面以及“藥液問題”的一元二次方程應用題的解法．提高學生化實際問題為數學問題的能力．
教學重點、難點
　　重點：用圖示法分析題意列方程．
　　難點：將實際問題轉化為對方程的求解問題.
教學過程
　　復習提問
　　本小節第一我們介紹了什么問題？
　　引入新
　　今天我們進一步研究有關面積和體積方面以及“藥液問題”的一元二次方程的應用題及其解法．
　　新
　　例1 如圖1，有一塊長25cm，寬15cm的長方形鐵皮．如果在鐵皮的四個角上截去四個相同的小正方形，然后把四邊折起，做成一個底面積為231cm2的無蓋長方體盒子，求截去的小正方形的邊長應是多少？

　　分析：如圖1，考慮設截去的小正方形邊長為xcm，則底面的長為(25-2x)cm，寬為(15-2x)cm，由此，知由長×寬＝矩形面積，可列出方程．
　　 解：設小正方形的邊長為xcm，依題意，得(25-2x)(15-2x)＝231，
　　 即x2-20x+36＝0，
　　 解得x1＝2，x2＝18(舍去)．
　　 答：截去的小正方形的邊長為2cm．
　　例2 一個容器盛滿藥液20升，第一次倒出若干升，用水加滿；第二次倒出同樣的升數，這時容器里剩下藥液5升，問每次倒出藥液多少升？

　　 ∴x＝10．
　　 答：第一、二次倒出藥液分別為10升，5升．
　　練習 P41 3、4
歸納總結
　　1．注意充分利用圖示列方程解有關面積和體積的應用題．
　　2．要注意關于“藥液問題”應用題，列方程要以“剩下藥液”為依據列式．
布置作業：習題22.3 8、9題
后反思
第三時
教學目的
　　使學生掌握列一元二次方程解關于增長率的應用題的方法．并進一步培養學生分析問題和解決問題的能力．
教學重點、難點
　　重點：弄清有關增長率的數量關系．
　　難點：利用數量關系列方程的方法．
教學過程
　　復習提問
　　1．問題：(1)某廠生產某種產品，產品總數為1600個，合格品數為1563個，合格率是多少？
　　(2)某種田農戶用800千克稻谷碾出600千克大米，問出米率是多少？
　　(3)某商店二月份的營業額為3.5萬元，三月份的營業額為5萬元，三月份與二月份相比，營業額的增長率是多少？
　　新
　　例1 某鋼鐵廠去年一月份某種鋼的產量為5000噸，三月份上升到7200噸，這兩個月平均每月增產的百分率是多少？
　　分析：用譯式法討論列式
　 　一月份產量為5000噸，若月增長率為x，則二月份比一月份增產5000x噸．
　　 二月份產量為(5000+5000x)＝5000(1+x)噸；
　　 三月份比二月份增產5000(1+x)x噸，
　　 三月份產量為5000(1+x)+5000(1+x)x＝5000(1+x)2噸．再根據題意，即可列出方程．
　　 解：設平均每月增長的百分率為x，根據題意，
　　 得5000(1+x)2＝7200，即(1+x)2＝1.44，
　　 ∴1+x＝±1.2，x1＝0.2，x2＝-2.2(不合題意，舍去)．
　　 答：平均每月增長率為20％．
　　例2 某印刷廠一月份印刷了科技書籍50萬冊，第一季度共印182萬冊，問二、三月份平均每月的增長率是多少？
　　 解：設每月增長率為x，依題意得
　　50+50(1+x)+50(1+x)2＝182，
　　 　
　　
　　答：二、三月份平均月增長率為20％．
歸納總結
　　依題意，依增長情況列方程是此類題目解題的關鍵．
布置作業：習題22.3 7題
后反思

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