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八年級暑假
數學培優提高練習題
一、數與式
典型題目：
1. 計算:（1）
（2）（ ＋ ＋……＋ ）（1＋ ＋ ＋……＋ ）
－（1＋ ＋ ＋……＋ ）（ ＋ ＋……＋ ）
2. 將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規律擺放：第1個圖形有6個小圓，第2個圖形有10個小圓，第3個圖形有16個小圓，第4個圖形有24個小圓，……，依次規律，第6個圖形有 個小圓.
3. 已知 依據上述規律，則 .
4.（1）劉謙的魔術表演風靡全國，小明也學起了劉謙發明了一個魔術盒，當任意實數對（a，b）進入其中時，會得到一個新的實數：a2+b-1，例如把（3，-2）放入其中，就會得到32+（-2）-1=6.現將實數對（m，-2m）放入其中，得到實數2，則m = ．
（2）在平面直角坐標系中，對于平面內任一點 若規定以下三種變換：
按照以上變換有： 那么 等于（ ）
A． B． C． D．
5.（1）化簡： ＝_______ ；
(2) 若x2－2y＋6x＋10＋y2=0,則 =__________；
(3)設 ，則 ________.
6.（1）如果式子 根號外的因式移入根號內，化簡的結果為（ ）
A． B． C． D．
(2) 已知 ，則 的值為 ( )
A． B． C． D．
(3) 如圖，菱形ABCD的對角線長分別為 ，以菱形ABCD各邊的中點為頂點作矩形 ，然后再以矩形 各邊的中點為頂點作菱形 ，……，如此下去．則得到四邊形 的面積用含 的代數式表示為__________.
同步練習
一、
1. 若 ( )
A. B.-2 C. D.
2. 已知a－b=b－c= ，a2＋b2＋c2=1則ab＋bc＋ca的值等于（ ）
Ａ. 　 Ｂ. 　　Ｃ. 　 Ｄ.
3．古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1、3、6、10… 這樣的數稱為“三角形數”，而把1、4、9、16…這樣的數稱為“正方形數”．從圖中可以發現，任何一個大于1的“正方形數”都可以看作兩個相鄰“三角形數”之和．下列等式中，符合這一規律的是（ ）
A．13 = 3+10 B．25 = 9+16
C．36 = 15+21 D．49 = 18+31
4．若將代數式中的任意兩個字母交換，代數式不變，則稱這個代數式為完全對稱式，如 就是完全對稱式.下列三個代數式：① ；② ；③ ．其中是完全對稱式的是(　 　)
A．①② B．①③ 　 C． ②③ D．①②③
二、題
5．已知Rt△ABC中，AC=3，BC= 4，過直角頂點C作CA1⊥AB，垂足為A1，再過A1作A1C1⊥BC，垂足為C1，過C1作C1A2⊥AB，垂足為A2，再過A2作A2C2⊥BC，垂足為C2，…，這樣一直做下去，得到了一組線段CA1，A1C1， ，…，
則CA1= ， .
6．已知 ， ．
7. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如圖所示
的方式放置．點A1，A2，A3，…和點C1，C2，C3，
…分別在直線 (k＞0)和x軸上，已知
點B1(1，1)，B2(3，2)， 則Bn的坐標是______________．
三、解答題
8. 若４x－３y－６z=0, x+2y－7z=0 (xyz≠0),求代數式 的值.
9.對任意實數x、y，定義運算x y為x y=ax+by+cxy 其中a、b、c為常數，等式右端運算是通常的實數的加法和．現已知1 2=3，2 3=4，并且有一個非零實數d，使得對于任意實數x,都有x d=x，求d的值．
10.如圖所示，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，兩條對角線相交于點O. 以OB、OC為鄰邊作第1個平行四邊形OBB1C，對角線相交于點A1；再以A1B1、A1C為鄰邊作第2個平行四邊形A1B1C1C，對角線相交于點O1；再以O1B1、O1C1為鄰邊作第3個平行四邊形O1B1B2C1……依次類推.
（1）求矩形ABCD的面積；
（2）求第1個平行四邊形OBB1C、第2個平行四邊
形A1B1C1C和第6個平行四邊形的面積.
二、方程與方程組
典型題目
1．解關于x的方程：
(1)4x+b=ax-8； (2) (3)
2．若關于x，y的二元一次方程組 的解也是二元一次方程 的解，求k的值．
3. 符號“ ”稱為二階行列式，規定它的運算法則為： ，請你根據上述規定求出下列等式中x的值： ．
4．設a是方程 的一個根，求代數式 的值．
5．求出二元一次方程2x+3y=20的非負整數解．
6．小明計劃將今年春節期間得到的壓歲錢的一部分作為自己一年內購買課外書籍的費用，其余的錢計劃買這些玩具去看望市福利院的孩子們．某周日小明在商店選中了一種小熊玩具，單價是10元，按原計劃買了若干個，結果他的壓歲錢還余30%，于是小明又多買了6個小熊玩具，這樣余下的錢僅是壓歲錢的10%．
（1）問小明原計劃買幾個小熊玩具，小明的壓歲錢共有多少元？
（2）為了保證小明購書費用不少于壓歲錢的20%，問小明最多可比原計劃多買幾個玩具？
7．某超市對顧客實行優惠購物，規定如下：
（1）若一次購物少于200元，則不予優惠；
（2）若一次購物滿200元，但不超過500元，按標價給予九折優惠；
（3）若一次購物超過500元，其中500元以下部分（包括500元）給予九折優惠，超過500元部分給予八折優惠．
小李兩次去該超市購物，分別付款198元和554元，現在小張決定一次性地購買和小李分兩次購買同樣多的物品，他需付多少元？
8．春秋旅行社為吸引市民組團去天水灣風景區旅游，推出了如圖1對話中收費標準．某單位組織員工去天水灣風景區旅游，共支付給春秋旅行社旅游費用27000元.請問該單位這次共有多少員工去天水灣風景區旅游？
9．為了支援四川人民抗震救災，某休閑用品有限公司主動承擔了為災區生產2萬頂帳篷的任務，計劃10天完成．（1）按此計劃，該公司平均每天應生產帳篷 頂；
（2）生產2天后，公司又從其它部門抽調了50名工人參加帳篷生產，同時，通過技術革新等手段使每位工人的工作效率比原計劃提高了 ，結果提前2天完成了生產任務．求該公司原計劃安排多少名工人生產帳篷？　
同步練習
1、若n（ ）是關于x的方程 的根，則m+n的值為__________．
2、已知關于 的方程 的解是正數，則m的取值范圍為____________.
3、已知 是方程組 的解，則a+b的值等于 ．
4、若 與 互為相反數，且 ，則 _________．
5、一家商店將某種服裝按成本價提高40%后標價,又以8折優惠賣出,結果每件仍獲利15元,這種服裝每件的成本為 元.
6、已知方程組 的解x，y，其和x+y=1，則k＝_____
7、籃球巨星姚明在一場比賽中24投14中，拿下28分，其中三分球三投全中，那么姚明兩分球投中 球，罰球投中 球.
8、 用換元法解分式方程 時，如果設 ，將原方程化為關于 的整式方程，那么這個整式方程是（ ）
A． B． C． D．
9、一條船順流航行是逆流航行的速度的3倍，則船在靜水中航速與水的流速之比為（　 ）
A、3:1 B、2:1 C、1:1 D、5:2
11.方程 的解是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
12．方程4x+y=20的正整數解有（ ）組.
A．2 B.3 C.4 D.5
13．若 ，則x－y的值為（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
14．兩位數的大小恰好等于其個位與十位數字之和的4倍，這樣的兩位數共有（ ）個
A.3 B.4 C.5 D.6
15.方程 + +…+ =1995的解是( )
A.1995 B.1996 C.1997 D.1998
【能力拓展】
16．已知關于x，y的方程組 與 的解相同，求a，b的值．
17. 已知等腰三角形兩邊長分別是方程 的兩根，求此等腰三角形的周長．
18.通惠新城開發某工程準備招標，指揮部現接到甲、乙兩個工程隊的投標書，從投標書中得知：乙隊單獨完成這項工程所需天數是甲隊單獨完成這項工程所需天數的2倍；該工程若由甲隊先做6天，剩下的工程再由甲、乙兩隊合作16天可以完成．
（1）求甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需要多少天？
（2）已知甲隊每天的施工費用為0.67萬元，乙隊每天的施工費用為0.33萬元，該工程預算的施工費用為19萬元．為縮短工期，擬安排甲、乙兩隊同時開工合作完成這項工程，問：該工程預算的施工費用是否夠用？若不夠用，需要追加預算多少萬元？請說明理由．
19．已知a,b是方程x2－x－1=0的兩個根,求代數式3a2+2b2－3a－2b的值．
20．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm．點P、Q同時由A、B兩點出發，分別沿AC、BC方向都以1cm/s的速度勻速移動，幾秒后△PCQ的面積是△ABC面積的一半？
三、不等式與不等式組
同步練習
1、下列四個命題①若a＞b，則a＋1＞b+1；②若a＞b，則a－l＞b －1；③若a＞b，則－2a＜－2b； ④若a＞b，則2a＜2b．其中正確的有 （ ）
A．l個 B．2個 C．3個 D．4個
2、如果2 、 、1－ 這三個實數在數軸上所對應的點從左到右依次排列，那么 的取值范圍是（ ）
A． ＞0B． ＞0.5C． ＜0D．0＜ ＜0.5
3、若不等式組 有解，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4、如圖，直線 經過點 和點 ，直線 過點A，則不等式 的解集為 ( )
A． B． C． D．
5、不等式組 的解集是 ．
6、如果不等式組 的解集是 ，那么 的值為 ．
7、已知 ．（1）若 ≤ ≤ ，則 的取值范圍是 ．（2）若 ，且 ，則 ．
8、已知關于 的不等式組 只有四個整數解，則實數 的取值范圍是 ．
9、已知關于x、y的方程組 的解滿足x10、小剛想給小東打電話，但忘了電話號碼中的一位數字，只記得號碼是 （ 表示忘記的數字）．若 位置的數字是不等式組 的整數解，求 可能表示的數字．
11、已知不等式組 的整數解a滿足 ，求(x+y)(x2-xy+y2)的值.
12、我縣農業結構調整取得了巨大成功，今年水果又喜獲豐收，某鄉組織30輛汽車裝運A、B、C三種水果共64噸到外地銷售，規定每輛汽車只裝運一種水果，且必須裝滿；又裝運每種水果的汽車不少于4輛；同時，裝運的B種水果的重量不超過裝運的A、C兩種水果重量之和．
（1）設用x輛汽車裝運A種水果，用y輛汽車裝運B種水果，根據下表提供的信息，求y與x之間的函數關系式并寫出自變量的取值范圍．?
水果品種 A B C
每輛汽車運裝量（噸） 2.2 2.1 2
每噸水果獲利（百元） 6 8 5
（2）設此次外銷活動的利潤為Q（萬元），求Q與x之間的函數關系式，請你提出一個獲得最大利潤時的車輛分配方案．
四、一次函數與不等式
一、與選擇
1．已知一次函數 ,函數 隨著 的增大而減小，且其圖象不經過第一象限，則 的取值范圍是 （ ）
A. B. C. D.
2．小高從家門口騎車去單位上班，先走平路到達點A，再走上坡路到達點B，最后走下坡路到達工作單位，所用的時間與路程的關系如圖所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分別保持和去上班時一致，那么他從單位到家門口需要的時間是 ( ) A．12分鐘 B．15分鐘C．25分鐘 D．27分鐘
3．如圖，點A、B、C、D在一次函數 的圖象上，它們的橫坐標依次為-1、1、2，分別過這些點作x軸與y軸的垂線，則圖中陰影部分的面積這和是 （ ） A． B． C． D．
4．函數y1=x+1與y2=ax+b的圖象如圖所示，這兩個函數圖象如圖所示，那么使y1,y2的值都大于零的x的取值范圍是
5．若直線y=mx+4，x=l，x=4和x軸圍成的直角梯形的面積是7，則m的值是（ ）
A．－12 B．－ 23 C．－32 D．－2
6．如圖，在直角坐標系中，已知點 ， ，對△ 連續作旋轉變換，依次得到三角形①、②、③、④…，則三角形⑩的直角頂點的坐標為　　 ．
7．如圖，將邊長為1的正方形OAPB沿x軸正方向連續翻轉2 007次，點P依次落在點P1, P2, P3, P4, …，P2 007的位置，則P2 007 的橫坐標x2 007＝_ ．
8．已知直線y1=ax+b和y2=mx+n的圖象如圖所示，
根據圖象填空．
⑴ 當x_ _時，y1＞y2；當x___ _時，y1=y2；
當x___ ___時，y1＜y2.
⑵ 方程組 是 .
9．如圖，直線 經過 ， 兩點，
則不等式 的解集為 .
二、解答題
10.如圖，直線y=- x+1分別與X軸，Y軸交于B，A.
（1）求B，A的坐標；
（2）把△AOB以直線AB為軸翻折，點O落在點C，
以BC為一邊做等邊三角形△BCD,求D點的坐標.
11.如圖直線y= x+8與x軸、y軸分別交于點A和點B，M是OB上的一點，若將△ABM沿AM折疊，點B恰好落在x軸上的點P處，求直線AM的解析式.
五．直線型幾何綜合題
典型題目
1．如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，動點P從點B出發，沿路線B→C→D作勻速運動，那么△ABP的面積S與點P運動的路程 之間的函數圖象大致是（ ）
2．如圖，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分別從A，B，C，D出發沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的邊上同時運動，當有一個點先到達所在運動邊的另一個端點時，運動即停止．已知在相同時間內，若BQ=xcm( )，則AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．
（1）當x為何值時，以PQ，MN為兩邊,以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構成一個三角形；
（2）當x 為何值時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形；
（3）以P，Q，M，N為頂點的四邊形能否為等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，請說明理由．
4．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=45°，AB=10cm，CD=4cm，等腰直角三角形PMN的斜邊MN=10cm，A點與N點重合，MN和AB在一條直線上，設等腰梯形ABCD不動，等腰直角三角形PMN沿AB所在直線以1cm/s的速度向右移動，直到點N與點B重合為止。
（1）等腰直角三角形PMN在整個移動過程中與等腰梯形ABCD重疊部分的形狀由________形變化為___________形；
（2）設當等腰直角△PMN移動x（s）時，等腰直角△PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積為y（cm2）。
① 當x=6時，求y的值；
② 當6＜x≤10時，求y與x的函數關系。
同步練習
1．如圖,一艘旅游船從A點駛向C點. 旅游船先從A點沿以D為圓心的弧AB行駛到B點,然后從B點沿直徑行駛到圓D上的C點.假如旅游船在整個行駛過程中保持勻速,則下面各圖中,能反映旅游船與D點的距離隨時間變化的圖象大致是（ ）
2．如圖，A，B的坐標為（2，0），（0，1）若將
線段 平移至 ，則—2（ ）的值為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如圖，點A的坐標為(－1，0)，點B在直線y=x上運動，當線段AB最短時，點B的坐標為 （ ）
（A）（0，0） （B）（ ， ）
（C）（－ ，－ ） （D）（－ ，－ ）
8．如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，但AD CD，我們稱這樣的四邊形為“半菱形”。小明說“‘半菱形’的面積等于兩條對角線乘積的一半”。他的說法正確嗎？請你判斷并證明你的結論。
9．如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10?，BC=8?。點P從點A出發，以每秒2?的速度沿線段AB方向向點B運動，點Q從點D出發，以每秒3?的速度沿線段DC方向向點C運動。已知動點P、Q同時發，當點P運動到點B時，P、Q運動停止，設運動時間為t。
（1）求CD的長；（2）當四邊形PBQD為平行四邊形時，求四邊形PBQD的周長；
（3）在點P、點Q的運動過程中，是否存在某一時刻，使得△BPQ的面積為20?2，若存在，請求出所有滿足條件的t的值；若不存在，請說明理由。
六、函數及一次函數
同步練習
1、一次函數y=2x－2的圖象不經過的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2、P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是正比例函數y= -x圖象上的兩點，則下列判斷正確的是（ ）
A．y1>y2 B．y1y2 D．當x1A．乙>甲B．丙>甲 C．甲>乙 D．丙>乙
第4題圖 第5題圖
4、如圖1，在直角梯形ABCD中，動點P從點B出發，沿BC，CD運動至點D停止．設點P運動的路程為 ，△ABP的面積為y，如果y關于x的函數圖象如圖2所示，則△BCD的面積是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5、如圖，點G、D、C在直線a上，點E、F、A、B在直線b上，若 從如圖所示的位置出發，沿直線b向右勻速運動，直到EG與BC重合．運動過程中 與矩形 重合部分的面積（S）隨時間（t）變化的圖象大致是（ ）
6、已知關于 、 的一次函數 的圖象經過平面直角坐標系中的第一、三、四象限，那么 的取值范圍是 ．
7、如圖，正方形 的邊長為10，點E在CB的延長線上， ，點P在邊CD上運動（C、D兩點除外），EP與AB相交于點F，若 ，四邊形 的面積為 ，則 關于 的函數關系式是 ．
第8題圖 第9題圖
8、如圖，已知一次函數 的圖象與反比例函數 的圖象在第一象限相交于點 ，與 軸相交于點 軸于點 ， 的面積為1，則 的長為 （保留根號）．
9、如圖，已知直線 的解析式為 ，直線 與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，直線 經過B、C兩點，點C的坐標為（8，0），又已知點P在x軸上從點A向點C移動，點Q在直線 從點C向點B移動．點P、Q同時出發，且移動的速度都為每秒1個單位長度，設移動時間為t秒 （ ）．
（1）求直線 的解析式．
（2）設△PCQ的面積為S，請求出S關于t的函數關系式．
（3）試探究：當t為何值時，△PCQ為等腰三角形？
七、多邊形和平行四邊形
同步練習
1、在□ABCD中，∠B＝50°，AB＝5cm，BC＝7cm，則∠D＝ ，□ABCD的周長為 .
2、如圖1，□ABCD的周長是28?，△ABC的周長是22?，對角線交于點O，則 OC的長為 cm.
3、如圖2，在□ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC邊于點E，則線段BE，EC的長度分別為 .
4、如圖3，已知□ABCD的兩條對角線AC與BD交于平面直角坐標系的原點，點A的坐標為(－2，3)，則點C的坐標為 ( )
A．(－3，2) B．(－2，－3) C．(3，－2) D．(2，－3)
5、在四邊形ABCD中，O是對角線交點，下列條件中，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是( )
A．AD∥BC，AD＝BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OD＝OB
6、如圖4，一個四邊形花壇ABCD，被兩條線段MN,EF分成四個部分，分別種上紅、黃、紫、白四種花卉，種植面積依次是S1, S2, S3, S4,，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，則有（ ）
A．S1= S4 B．S1+ S4= S2+ S3 C．S1S4= S2S3 D．都不對
7、如圖5，在□ABCD中，E是BC的中點，且∠AEC=∠DCE，則下列結論不正確的是
A． B．
C．四邊形AECD是等腰梯 D．
8、如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB＝60°，點E、F分別在CD、AB的延長線上，且AE＝AD，CF＝CB。
(1)試說明：四邊形AFCE是平行四邊形.
(2)若去掉已知條件的“∠DAB＝60°，上述的結論還成立嗎?若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由.
9、已知：□ABCD的對角線交于點O，點P是直線BD上任意一點(異于B、O、D三點)，過P點作平行于AC的直線，交直線AD于E，交直線AB于F.
(1)若點P在線段BD上(如圖所示).試說明：AC＝PE＋PF.
(2)若點P在BD或DB的延長線上，試探究AC、PE、PF滿足的等量關系式.(只寫出結論，不作證明)
10、如圖，ABCD是矩形紙片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上、設F、H分別是B、D落在AC上的兩點，E、G分別是折痕CE、AG與AB、CD的交點、
(1)試說明：四邊形AECG是平行四邊形；
(2)若AB＝4cm，BC＝3cm，求線段EF的長、
11、如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝4 cm，∠A＝60°，BD⊥AD. 一動點P從A出發，以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路線勻速運動，過點P作直線PM，使PM⊥AD .
(1) 當點P運動2秒時，設直線PM與AD相交于點E，求△APE的面積；
(2) 當點P運動2秒時，另一動點Q也從A出發沿A→B→C的路線運動，且在AB上以每秒1 cm的速度勻速運動，在BC上以每秒2 cm的速度勻速運動. 過Q作直線QN，使QN∥PM. 設點Q運動的時間為t秒(0≤t≤10)，直線PM與QN截平行四邊形ABCD所得圖形的面積為S cm2 .
① 求S關于t的函數關系式；
② 求S的最大值.


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